泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆).doc

文档介绍：第五章习题第一部分 01-15
M 为线性空间 X 的子集，证明 span( M )是包含 M 的最小线性子空间．
[ 证明
则由
所以

] 显然 span( M )是 X 的线性子空间．设 N 是 X
span( M )的定义，可直接验证 span( M ) N．
span( M )是包含 M 的最小线性子空间．

的线性子空间，且 M

N．
设 B 为线性空间 X 的子集，证明
n n
conv(B) = {
ai xi | a i
0,ai
= 1, x i B, n 为自然数 } ．
i 1
i 1
n
n
[证明]
设A={
ai xi | a i
0,
ai = 1, x i
B, n 为自然数 } ．首先容易看出 A 为
i
1
i
1
包含 B 的凸集，设 F 也是包含 B 的凸集，则显然有 A
F，故 A 为包含 B 的最
小凸集．
证明 [a, b] 上的多项式全体 P[a, b] 是无限维线性空间，而 E = {1, t, t 2, ..., t n , ...}
是它的一个基底．
[证明]
首先可以直接证明 P[a, b] 按通常的函数加法和数乘构成线性空间，
而 P[a, b] 中的任一个元素皆可由 E 中有限个元素的线性组合表示．
设 c0
1
2m 是
m + 1
个实数，其中
c
m
0， m
1．
, c , c , ..., c
m
n
= 0，由代数学基本定理知
= 0，
若
0
1
2
m
cnt
c = c
= c
= ... = c
n 0
所以 E 中任意有限个元素线性无关，
故 P[a, b] 是无限维线性空间，而 E 是它的一个基底。
4. 在
2
1
2
2
1
1
2
2
12
22 1/2
中对任意的 x = (x
, x )
，定义 || x ||
= | x
| + | x
|，|| x ||
= (x
+ x )
，
|| x ||
= max{ | x1
|, | x2 | } ．证明它们都是
2 中的范数，并画出各自单位球的
图形．
[ 证明 ] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．
设 X 为线性赋范空间， L 为它的线性子空间。 证明 cl(L)也是 X 的线性子空间．
[证明]
x, y cl(L)， a
，存在 L 中的序列 { xn }, { yn } 使得 xn
x，yn
y．
从