文档介绍：第二章连续系统的时域分析
冲激响应和阶跃响应
LTI连续系统的响应
卷积积分
卷积积分的性质
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元件端口的电压与电流约束关系
C
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对于一个线性系统,其激励信号x(t)与响应函数y(t)之间的关系,可用下列形式的微分方程式来描述
上式就是一个常系数 n 阶线性常微分方程。
§ LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
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此方程的完全解由两部分组成,这就是齐次解和特解。齐次解应满足
特征方程为
1)特征根为单根,微分方程的齐次解为
2)特征根有重根,假设是特征方程的K重根,那么,在齐次解中,相应于的部分将有K项
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3)若、为共轭复根,即那么,在齐次解中,相应于、的部分为
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下面讨论求特解的方法,特解的函数形式与激励的函数形式有关。将激励信号代入微分方程的右端,代入后的函数式称为“自由项”。
自由项特解
E (常数)
(常数)
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' ' (t)+5y ' (t)+6y(t) = f(t)
1)当f(t) = 2e-t, t≥0; y(0)=2, y ' (0)=-1时全解;
2)当f(t) = 2e-2t, t≥0; y(0)=1, y ' (0)=0时全解。
解:1)特征方程为λ2+5λ+6=0
特征根λ1=-2,λ2=-3
齐次解yh(t)=c1e-2t+c2e-3t
当f(t)=2e-t 时特解为 yp(t)=pe-t
代入得pe-t-5pe-t+6pe-t=2e-t
p=1
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全解为y(t)=c1e-2t+c2e-3t +e-t
y(0)= c1+c2 +1=2
y ' (0)= -2c1-3c2 -1=-1
c1=3
c2=-2
可得:y(t) = 3e-2t - 2e-3t + e-t, t≥0
齐次解
特解
自由响应
强迫响应
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2)齐次解仍为yh(t)=c1e-2t+c2e-3t
当f(t)=e-2t 时特解为 yp(t)=p1te-2t +p0e-2t
代入得(4p1-10p1+6p1)te-2t+(-4p1+4p0+5p1-10p0+6p0)e-2t=e-2t
p1=1
全解为y(t)=c1e-2t+c2e-3t + te-2t + p0e-2t
其一阶导数y ' (t)=-2(c1+ p0)e -2t -3c2e-3t + e -2t -2 te-2t
代入初始条件得:y(0)=c1+c2+ p0=1
y ' (0)=-2(c1+ p0) -3c2 + 1=0
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c1+p0=2, c2= -1
得微分方程的全解y(t)=2e-2t-3e-3t + te-2t ,t≥0
全响应中随时间衰减的分量称为瞬态响应,不随时间衰减的部分是稳态响应
如P43例
全响应=零输入响应+零状态响应
=自由响应+强迫响应
=瞬态响应+稳态响应
不能区分自由响应和强迫响应
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