文档介绍：第二章热传导方程
第一节热传导方程的导出和定解条件
一、热传导方程的导出:
给定一空间内物体,设其上的点在时刻的温度为。
问题的数学提法:(建立直角坐标系)
问题:
研究温度的运动规律。
在三维空间中,考虑一物体,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,研究物体内部温度的分布和变化。(例如:水坝坝体内温度的变化、公路地基内温度的变化)
物理问题:
分析:(两个物理定律)
1、热量守恒定律:
2、傅里叶(Fourier)热传导定律: 单位时间内,流出单位面积区域的热量与成正比,即
温度变化吸收的热量
通过边界流入的热量
热源放出的热量
为热传导系数,“-”表示热量是从温度高处向温度低处流。
任取物体内一个由光滑闭曲面所围成的区域,研究物体在该区域内热量变化规律。
热传导方程的推导:
热量守恒定律
区域内各点的温度从时刻的温度改变为时刻的温度所吸收(或放出)的热量,应等于从时刻到时刻这段时间内通过曲面流入(或流出) 内的热量和热源提供(或吸收)的热量之和。即
内温度变化所需要的热量=通过曲面流入内的热量+热源提供的热量
下面分别计算这些热量
(1) 内温度变化所需要的能量
那么包含点的体积微元的温度从变为所需要的热量为
设物体
的比热(单位质量的物体温度改变
所需要的热量)为
密度为
整个内温度变化所需要的能量
(2)通过曲面进入内的热量
由傅里叶热传导定律,从到这段时间内通过进入内的热量为
由高斯公式
知
(3)热源提供的热量
用表示热源强度,即单位时间内从单位体积内放出的热量,则从到这段时间内内热源所提供的热量为
由热量守恒定律得:
由及的任意性知
三维无热源热传导方程:
三维有热源的热传导方程: (均匀且各向同性物体,即都为常数的物体)
其中
称为非齐次项(非自由项)。
通常称()为非齐次的热传导方程,而称()为齐次热传导方程。
二、定解条件(初始条件和边界条件)
初始条件:
边界条件:
1、第一边界条件
( Dirichlet 边界条件)
特别地: 时,物体表面保持恒温。
2、第二边界条件
( Neumann 边界条件)
特别地: 时,表示物体绝热。
3、第三边界条件
( D-N 混合边界条件)
其中:
表示沿边界上的单位外法线方向的方向导数
注:
注意第三边界条件的推导:
研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为的物体放入空气介质中,已知与物体表面接触处的空气介质温度为,它与物体表面的温度并不相同。这给出了第三边界条件的提法。
热传导试验定律或牛顿定律
从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比:
其中比例常数称为热交换系数
流过物体表面的流量可以从物质内部(傅里叶定律)和外部介质(牛顿定律)两个方面来确定:
或
即得到():