文档介绍：第十一章结构动力分析、特征对求解
有限元法理论与应用
第十一章  结构动力分析、特征对求解
第二节结构动力学平衡方程
第一节结构动力学问题主要功能
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第三节特征方程的求解
第四节行列式搜索法
第五节子空间迭代法
第一节结构动力学问题主要功能
在工程实际中,结构受到的载荷常常是随时间变化的动载荷,只有当结构由此载荷而产生的运动非常缓慢,以致其惯性力小到可以忽略不计时,才可以按静力计算,因此,静力问题可以看为是动力问题的一种特例。一般工程中为了简化计算常把许多动力问题简化为静力问题处理。随着科技的发展,工程中对动态设计要求越来越多。工程结构所受的常见动载荷有谐激振力、周期载荷、脉冲或冲击载荷、地震力载荷、路面谱和移动式动载荷等。由于受这些随时间变化的动载荷的作用,由此而引起结构的位移、应变和应力等响应也是随时间变化的。有些结构虽受的动载荷幅值并不明显,但当动载荷的频率接近于结构的某一阶固有频率时,结构就要产生共振,将引起很大的振幅和产生很大的动应力。以致使结构发生破坏或产生大变形而不能正常工作。因此对某些工程问题,必须进行动力分析。
结构动力分析、特征对求解
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求解特征方程,计算结构的固有频率和振型,为进一步计算动力响应(振型叠加法等)作好准备,也可以直接用于确定结构可
能发生的共振频率和轴系的临界转速,还可以考虑梁、板单元的几何非线性对结构振动的影响。
结构动力分析、特征对求解
目前,国内外著名程序Nastran、ANSYS、ABAQUS、Radioss 、LSDYNA等主要动力分析功能有以下五种:
特征值问题的求解(模态分析)
历程响应分析
用振型叠加法计算结构在强迫力和强迫位移(包括
基础运动)下瞬态响应。
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结构动力分析、特征对求解
响应谱分析与随机振动分析
用逐步积分法求历程响应
频率响应分析
根据给定的反应谱曲线,采用振型叠加法对基础的随机
的强迫位移进行结构的最大位移和最大应力分析,可用
于求解冲击载荷条件下的结构响应。
不用求解特征方程的特征值和特征向量,而用Wi1son
法直接对动力方程进行数值积分,求解结构在强迫力和
强迫位移下的瞬态响应。
计算由于基础作谐运动引起的结构稳态响应,确定结构
的幅频特性与相频特性,也可以模拟结构在振动台上的
振动试验
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第二节结构动力学平衡方程
结构动力分析、特征对求解
在静力分析中结构的平衡方程为:
(11-1)
当这样一组力时,结构的动力方程
就很容易写出:
(11-2)
式中,[M]—结构的总质量矩阵; [C]—为阻尼矩阵;
[K]—结构的总刚度矩阵; [u]—结构的位移向量;
{R(t)}—强迫力列阵。
如果结构承受基础加速度而产生的惯性载荷,则动力平衡方程为:
式中, —是结构相对于基础的位移向量;
—是结构的牵连加速度向量。
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第三节特征方程的求解
结构动力分析、特征对求解
一般程序是采用两种方法来求解特征方程的,当结构的自由度较少,其总刚的上三角元素可一次放入内存时,可采用行列式搜索法,若结构的自由度较多时,总刚的上三角元素一次不能全放入内存,则需分块存宁,程序自动转入采用子空间迭代法求解特征方程。
考虑在无阻尼的自由振动系统中,结构的动力方程为:
(11-4)
设: 代入上式得:
令为特征值, 为特征向量,则
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结构动力分析、特征对求解
若存在非零解,必有:
求解(11-6)式可得出特征值,再将求得的依次
代入下式:
可解得特征向量(振型) ,其中为特征值
所对应的特征向量。特征向量可取和,使之正交归一化。
当考虑几何非线性影响时,结构的特征方程(11-5)式可改写为:
式中,[KG]—为结构的几何刚度矩阵。
方程(11-8)式与方程(11-5)式在解法上没有什么不同,因而无需另作讨论。需要注意的是由方程(11-8)式解得的特征值时,表示结构已经失稳。
(11-6)
(11-7)
(11-8)
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第四节行列式搜索法
结构动力分析、特征对求解
求解(11-5)特征方程行列式搜索法的基本思想是:利用Sturm序列的性质,通过对称矩阵的三角分解计算矩阵的行列式值,用加速割线法求出靠近下一个未知特征值的位移,然后用移位逆迭代求特征向量,同时使特征值精化,遇到重根的情况,对特征向量施行格雷姆-施密特征正交化,以保证不发生丢根。
一、 Sturm序列的性质
关于Sturm序列以及它的性质,这里不做详细叙述,
只提一下我们将要用的结论。
记
(11-9)
为特征方程(11-5)的特征多项式,一般地,
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是一n次多项式,它的n个另点,即为特征方程(11-5)的n个特征值。
将矩