文档介绍：第十九讲:近自由电子近似
一维周期场中的微扰理论
考虑布洛赫电子在一维周期势场中运动,假定周期势场的起伏比较小,作为零级近似,
可以用势场的平均值V 代替 V(x),将周期势场的起伏Vx( ) − V作为微扰来处理。
单电子的哈密顿量
讨论一长度 L = Na 的一维简单晶体,a 为晶格常数,N 为原胞数,将周期性势场的
影响看成是微扰 H’,单电子的哈密顿量为:
HH=+∆=+00 HH VxV( ) −
零级近似
零级近似哈密顿量:
=22d
HV= −+
0 2mdx2
零级近似波动方程:
=22d
−+=ψ 0000VEψψ(4-14)
2mdx2 kkkk
零级近似波函数:
1
ψ 0 = eikx
k L
零级近似能量:
=22k
EV0 = + (4-15)
k 2m
波恩-卡曼边界条件
引入周期性边界条件可以得到 k 只能取下列值:
l 2π
kl==, 整数(4-16)
Na
很容易验证波函数满足正交归一化条件
Na
ψ 00ψδdx = (4-17)
∫0 kk'' kk
正是由于零级近似下的解为自由电子,所以称为近自由电子近似。
微扰势的傅立叶展开
微扰势∆V 是周期函数,可做傅立叶展开:
125
' iKn ⋅ x
∆=VVxV( ) −=∑ Ven
n
iKn ⋅ x
Vx( ) == V + ∑ Ven
n
1 a
VkVxk==' () eVxdx−iKn x ()
n a ∫0
展开式中仅有波矢为倒格矢 Kn 的项存在,求和号加撇表示不包括 n= 0 的项,相当于
取势能平均值为零。傅立叶系数 Vn 一般为复数。
本征值的一级和二级修正
按照一般的微扰理论的结果,本征值的一级和二级修正为
()1
EkVkk =∆(4-18)
2
kVk' ∆
E()2 = ' (4-19)
k ∑ 00 (4-19)
k ' EEkk−'
波函数的一级修正为
kVk' ∆
ψ()1 = '0ψ(4-20)
kk∑ 00' (4-20)
k ' EEkk−'
能量的一级修正为零
()1
具体写出 Ek 为
22
E()1 =−=−=ψψ00 V x V dx V x dx V 0
kk∫∫() k()
因此能量的一级修正为零。
kVk' ∆的计算
()2 ()1
Ek 和ψ k 都需要计算矩阵元 kVk' ∆,由于 k’和 k 两态之间的正交关系
kVkkVxVkkVxk''∆=( ) −= '( )
现在我们证明,由于 V(x)的周期性,上述矩阵服从严格的选择定则。按原胞划分计算
11LnaN −1 ()+1
kVx' () k== e−−ik()'' kx Vxdx() e −− ik() kx Vxdx()
∫∫0 ∑ na
LNan=0
对不同的原胞 n,引入积分变数ξ=x+na,考虑到 V(ξ+na)= V(ξ)
1 N −1 a
kVx' () k= e−−ik()'' kna e −− ik () kξ V()ξ dξ
Na ∑∫0
n=0 (4-21)
N −1 n
11a −−ik'' kξ−− ik ka
= eVd()()ξξ e()
∫0 ∑
aNn=0
现在分两种情况:
2π
(1) kkn'−= 时,(k’−k)a 相差 2π的整数倍,因此
a
N −1 n
1 −−ik()' ka
∑e =1 (4-22)
N n=0
2π
(2) kkn'−≠时,(4-21)式中的的加式可用几何级数的结果,写成
a
126
−−ik( ' kNa)
111N −1 n − e
e−−ik()' ka =
∑−−ik()' ka
NNn=0 1− e
ll'2ππ 2
−−iNa
11−−eeNa Na 11 −−il()'2 l π
== = 0
NN11−−ee−−ik()'' ka −− ik() ka
2π
分母由于 kkn'−≠,所以不为零,在这种情况下,矩阵元恒为零。
a
kVk' ∆的计算小结
2π
如果 kkn'−= 时
a
1 a −i2πξn
kVx' () k= ea V()ξξ d= V (4-23)
a ∫0 n
否则