文档介绍：传染病模型
随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展,诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球,至今带来极大的危害。长期以来,建立制止传染病蔓延的手段等,一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要相当多的病理知识,这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播,而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。
模型1 在这个最简单的模型中,设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数,
方程(1)的解为
结果表明,随着t的增加,病人人数x(t)无限增长,这显然是不符合实际的。
建模失败的原因在于:在病人有效接触的人群中,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被传染为病人,所以在改进的模型中必须区别这两种人。
模型2(SI模型) 假设条件为
,即不考虑生死,也不考虑迁移。人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个词的第一个字母,称之为SI模型),以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。
,称为日接触率。当病人与健康者接触时,使健康者受感染变为病人。
又因为
方程(5)是Logistic模型。它的解为
这时病人增加的最快,可以认为是医院的门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻。
其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者。
模型3(SIS模型) 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,所以这个模型称SIS模型。
SIS模型的假设条件1,2与SI模型相同,增加的条件为
,称为日治愈率,病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/μ是这种传染病的平均传染期。
不难看出,考虑到假设3,SI模型的(3)式应修正为
(4)式不变,于是(5)式应改为
我们不去求解方程(9)(虽然它的解可以解析地表出),而是通过图形分析i(t)的变化规律。定义