文档介绍：线性代数知识点总结
行列式
（一）行列式概念和性质
1、逆序数： 所有的逆序的总数
2、行列式定义： 不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：（用于化简行列式）
1）行列互换（转置），行列式的值不←→A 可逆；r（ A）＜ n←→|A|=0 ←→A 不可逆；
3） r（A）=r（r=1、2、⋯、 n-1） ←→r 子式非零且所有 r+1 子式均 0。
10、秩的性 ：（7 条）
1） A m× n 矩 ， r（A）≤ min（m,n）
2） r（A±B）≤ r（ A）±（ B）
3） r（AB）≤ min{r （ A），r（B）}
4） r（kA）=r（A）（k≠0）
5） r（A）=r（AC）（C 是一个可逆矩 ）
6） r（A）=r（AT）=r（ ATA）=r（AAT）
7） A 是 m×n 矩 ， B 是 n×s 矩 ， AB=O， r（ A） +r（B）≤ n
★（ 8）r（ A*）=n r（ A*）=1 r（ A*）=0
（六）分 矩
11、秩的求法：
1） A 抽象矩 ：由定 或性 求解；
2） A 数字矩 ： A→初等行 → 梯型（每行第一个非零元素下面的元素
均 0）， r（A）=非零行的行数
（五）伴随矩
12、伴随矩 的性 ：（8 条）
1） AA*=A*A=|A|E→ ★ A*=|A|A -1
2）（kA）*=kn-1A*
3）（AB）*=B*A*
4） |A*|=|A| n-1
5）（AT）*=（A*）T
6）（A-1）*=（ A*）-1=A|A| -1
7）（A* ）*=|A| n-2·A
（r（ A）=n）；（r（ A） =n-1）；（r（ A）＜ n-1）
13、分 矩 的乘法： 要求前列后行分法相同。
14、分 矩 求逆：
向量
（一）向量的概念及运算
1、向量的内 ：（α，β） =αTβ =β Tα
2、 度定 ： || α||=
3、正交定 ：（α，β） =α Tβ=βTα=a1b1+a2b2+⋯+anbn =0
4、正交矩 的定 ： A n 矩 ， AAT=E ←→ A-1=AT ←→ ATA=E → |A|= ±1
（二） 性 合和 性表示
5、 性表示的充要条件：
非零列向量β可由α 1，α 2，⋯，α s 性表示
(1)←→非 次 性方程 （α 1，α 2，⋯，α s）（x1， x2，⋯， xs） T=β有解。
★(2)←→r（α 1，α2，⋯，α s）=r（α 1，α 2，⋯，α s，β）（系数矩 的秩等于
增广矩 的秩，用于大 第一步的 ）
6、 性表示的充分条件： （了解即可）
若α 1，α2，⋯，α s 性无关，α 1，α 2，⋯，α s，β 性相关， β可由α 1， α 2，⋯，α s 性表示。
7、 性表示的求法：（大 第二步）
α 1，α 2，⋯，α s 性无关，β可由其 性表示。
（α 1，α 2，⋯，α s| β） →初等行 →（行最 形 | 系数）
行最 形：每行第一个非 0 的数 1，其余元素均 0
（三） 性相关和 性无关
8、 性相关注意事 ：
1）α 性相关 ←→α =0
2）α 1，α 2 性相关 ←→α1，α 2 成比例
9、 性相关的充要条件：
向量 α 1，α 2，⋯，α s 性相关
1） ←→有个向量可由其余向量 性表示；
2） ←→ 次方程（α 1，α 2，⋯，α s）（ x1 ，x2，⋯， xs）T=0 有非零解；
★（ 3） ←→r（α 1，α 2，⋯，α s）＜ s 即秩小于个数
特 地， n 个 n 列向量α 1，α 2，⋯，α n 性相关
1） ←→ r（α 1，α 2，⋯，α n）＜ n
2） ←→| α 1，α 2，⋯，α n |=0
3） ←→（α 1，α 2，⋯，α n）不可逆
10、 性相关的充分条件：
1）向量 含有零向量或成比例的向量必相关
2）部分相关， 整体相关
3）高 相关， 低 相关
4）以少表多，多必相关
★推 ： n