文档介绍：正则系综和正则分布
正则系综和正则分布
第十一章统计系综
正则系综---大量相同的恒温系统(其平衡态由不变的温度T, 粒子数N和外参量x描述)的集合.
()
根据量子刘维定理,其密度矩阵(能量表象中):
()
系统与热源组成的复合(孤立)系统能量:
系统处在确定微观态的概率:
热源微观态数
()
热源微观态数(给定系统微观态下)也即复合系统微观态数, 根据:
()
则:
()
将按的幂次展开:
()
()
利用:
()
略去高阶项, 且()第三项中的二阶偏导代表温度的变化, 也应为零, 故:
得:
()
()
()
定义配分函数:
()
则:
()
()为对一切微观态求和, 也可写成对一切能级求和, 此时:
为能量的微观态数(简并度), ()表示系统处能量的概率.
注意: 系综理论的首要任务就是求系统的配分函数, 进而可求出有关热力学量.
正则分布
()
()
()
内能:
()
配分函数和热力学量的关系
则:
广义力:
应用于系统压强:
()
()
()
()
由于:
熵:
对于恒定粒子数的封闭系:
或:
()
根据:
即:
()
()
()
自由能:
即:
()
事实上, 由描述的恒温系统的特性函数即为自由能, 因此可根据上式先求出, 进而得:
此外, 若恒温系统有两个无相互作用的子系统组成, 则容易证明:
()
此时:
()
()
能量均方涨落:
()
恒温系统的能量涨落
类似前述方法可导得:
()
能量相对涨落:
由于:
()
则:
()
即能量相对涨落可以忽略, 恒温和孤立系统等价, 从而正则系综和微正则系综等价.
固体的顺磁性模型和固体比热的爱因斯坦模型
固体的顺磁性模型
()
例1: 如图示为固体的顺磁性模型,求: (1)磁化强度和磁化率;
(2)内能和热容量;
(3) 熵.
解: (1)磁化强度和磁化率:
单个偶极子的配分函数:
系统配分函数:
()
注意: 此处根据所关心的问题把磁介质在外场中的势能当系统内能.
()
自由能:
()
()
平均总磁矩:
得:
()
由:
()
磁化强度:
高温弱场下:
则:
()
磁化率:
()