文档介绍：关于凸集和凸函数和凸规划
第一页，讲稿共五十页哦
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
仿射组合 (Affine Combination)
凸组合 (Convex Combination--凸锥 (Convex Cone)
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凸函数
凸函数(Convex Function) ----
设
是非空凸集，
若对任意的
及任意的
都有：
则称函数
为
上的凸函数．
注：
将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义．
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凸函数
严格凸函数
设
是非空凸集，
若对任意的
及任意的
都有：
则称函数
为
上的严格凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到严格凹函数的定义．
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凸函数
对一元函数
在几何上
表示连接
的线段．
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点
的线段总是位于曲线弧的上方．
几何性质
表示在点
处的
函数值．
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f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
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f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
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f(X)
X
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X1)
f(X2)
X1
X2
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
第二十四页，讲稿共五十页哦
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)

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(a) 凸函数 (b)凹函数
该定义的一个应用——证明不等式
例：证明
Young不等式
推广：Hölder不等式
P41
证法：在Young不等式中令
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例：
设
试证明
在
上是严格凸函数．
证明:
设
且
都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
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例：
试证线性函数是
上的凸函数．
证明:
设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
凸函数
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凸函数
定理1
设
是凸集
上的凸函数充要条件
性质
詹生(Jensen)不等式
不等式应用: 设
，证明:
P41
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凸函数
定理2
性质
正线性组合
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凸函数
定理3
设
是凸集
上的凸函数，
则对任意
，水平集
是凸集．
水平集(Level Set)
称为函数f在集合S上关于数的水平集.
注：定理3 的逆命题不成立.
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下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
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凸函数
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定理1:
设
是定义在凸集
上，
令
则:
(1)
是定义在凸集
是凸集
上的凸函数的充要条件是对
任意的
一元函数
为
上的凸函数.
(2)
设
若
在
上为严格
凸函数，
则
在
上为严格凸函数．
凸函数
凸函数的判别定理
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该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之
间的部分是一段向下凸的弧．
凸函数
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定理4
设在凸集
上
可微，
则：
在
上为凸函数的充要条件是对任意的
都有：
严格凸函数(充要条件)??
凸函数
凸函数的判别定理---一阶条件
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸函数的依据.
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凸函数
定理4-----几何解释
一个可微函数是凸函数当且仅当函数图形上任一点处的切平面位于曲面的下方.
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凸函数
定理4-----几何解释