文档介绍：关于函数的最大值和最小值的求解方法
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定义
当x1<x2时,都有
，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有
，那么就说函数f（ 对于给出具体解析式的函数，判断或证明
其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）
数则可以利用导数解之.
探究提高
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知能迁移1 试讨论函数 x∈(-1,1)的单
调性（其中a≠0）.
解 方法一 根据单调性的定义求解.
设-1<x1<x2<1,
∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
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因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数；
当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),此时函数f(x)为增函数.
方法二
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当a>0时，∵-1<x<1,
即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
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题型二 复合函数的单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数的区间是 ( )
A.(3,6) B.(-1,0)
C.(1,2) D.（-3,-1）
先求得函数的定义域,然后再结合二次
函数、对数函数的单调性进行考虑.
解析 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的
对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是
减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由
.
思维启迪
D
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（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函
数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数.
（2）讨论复合函数单调性的步骤是：
①求出复合函数的定义域；
②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其
单调性；
③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；
④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
探究提高
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知能迁移2 函数y= 的递减区间为
（ ）
A.(1,+∞) B.
C. D.
解析 作出t=2x2-3x+1的示意
图如图所示，
∵0< <1,∴ 递减.
要使 递减,
t应该大于0且递增,
故x∈(1,+∞).
A
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题型三 函数的单调性与最值
【例3】已知函数 x∈[1,+∞).
(1)当a= 时,求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实
数a的取值范围.
第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞)
上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第
(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小
值大于0的问题来解决.
思维启迪
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解
设1≤x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=
∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2,
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
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设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是
增函数.