文档介绍：线性代数知识点总结
第一章 行列式
二三阶行列式
N阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
(jj..j),12na,(,1)aa...a ,ij1j2jnj12nnjjj12n
(奇偶)排列、逆序数、对换 则为非奇异矩阵。
,1,1A,A 5、若A可逆，则
AA,,1112*,,A,伴随矩阵:A为N阶方阵，伴随矩阵: (代数余子式) ,,AA2122,,
特殊矩阵的逆矩阵:(对1和2，前提是每个矩阵都可逆)
,1,1,1,,ABAABC,,,,1,,D,,,D, 1、分块矩阵 则 ,,,1,,OCOC,,,,
,1,,A,,A11,,,,,1A,,A,,2,12A,A, 2、准对角矩阵， 则 ,,,1,,AA33,,,,,1,,,,AA4,,4,,
***,1AA,AA,AIA,AA 3、 4、(A可逆)
,1*1n,1,*1*，，，，A,A,A 5、 6、(A可逆) A,AA
T*****T 7、 8、 ，，AB,BA，，，，A,A
1,1*A,A判断矩阵是否可逆:充要条件是，此时 A,0A
求逆矩阵的方法:
,1定义法 AA,I
*A,1伴随矩阵法A ,A
,1初等变换法 只能是行变换 ，，，，A|I,I|Ann
初等矩阵与矩阵乘法的关系:
设是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等，，A,aijm*n
于用同等的m阶初等矩阵左乘以A:对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A (行变左乘，列变右乘)
第三章 线性方程组
消元法 非齐次线性方程组:增广矩阵?简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n时，有唯一解;当时，有无穷多解 r,n
r(AB)r(B)，无解 ,
齐次线性方程组:仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n
当齐次线性方程组方程个数<未知量个数，一定有非零解
当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0
齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个
N维向量:由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示(加法数乘)
特殊的向量:行(列)向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示
P 向量组间的线性相关(无):定义 179
向量组的秩:极大无关组(定义P188)
,,,,.....,,,,,....., 定理:如果是向量组的线性无关的部分组，则它是 jjj12s12r
,,,,.....,,,,,....., 极大无关组的充要条件是:中的每一个向量都可由线性表出。 jjj12s12r
秩:极大无关组中所含的向量个数。
定理:设A为m*n矩阵，则的充要条件是:A的列(行)秩为r。 r(A),r
现性方程组解的结构:齐次非齐次、基础解系
线性组合或线性表示注:两个向量αβ，若则α是β线性组合 ,,k,
单位向量组
任意向量都是单位向量组的线性组合
零向量是任意向量组的线性组合
任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关(无)注: n个n维单位向量组一定是线性无关
一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关
含有零向量的向量组一定是线性相关
若两个向量成比例，则他们一定线性相关
TTTTTTTr(,,...,),r(,,...,,)向量β可由线性表示的充要条件是 ,,,,..,12n12n12n
: 判断是否为线性相关的方法
1、定义法:设，求(适合维数低的) kk....kkk....k12n12n
2、向量间关系法P:部分相关则整体相关，整体无关则部分无关 183
TTTP3、分量法(n个m维向量组):线性相关(充要) ,r(,,....,),n18012n
TTT 线性无关(充要) ,r(,,....,),n12n
TTTTTT,,,,0,,,,0 推论?当m=n时，相关，则;无关，则 123123
?当m<n时，线性相关
,,,,...,,，,,,，,,...,，,推广:若向量组线性无关，则当s为奇数时，向量组 12s1223s1
也线性无关;当s为偶数时，向量组也线性相关。
,,,,...,,,,,,,...,,定理:如果向量组线性相关，则向量可由向量组线性表出，且 12s12s
,,,,..., 表示法唯一的充分必要条件是线性无关。 12s
极大无关组注:向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的;
不全为零的向量组的极大无关组一定存在;
无关的向量组的极大无关组是其本身;
向量组与其极大无关组是等价的。
齐次线性方程组(I)解的结构:解为 ,,,...12
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