文档介绍：巧用法向量解立体几何题
李志坚
传统几何法在解立体几何有时比较简单。如要证线面平行只需找到线线平行就可以解决问题，但在求二面角大小、线面所成角时难度就较大，要求逻辑思维较强,,因为巧用法向量解立体几何题
李志坚
传统几何法在解立体几何有时比较简单。如要证线面平行只需找到线线平行就可以解决问题，但在求二面角大小、线面所成角时难度就较大，要求逻辑思维较强,,因为向量法注重的是操作程序，是纯代数运算。下面就向量中的一种特殊向量—-——法向量，结合近几年的高考题从三方面谈谈法向量在解立体几何中的应用：
应用法向量求线面所成的角:
在求平面的斜线OP和平面所成的角时，设平面的法向量为n，先求n的夹角为，当为锐角时，；当为钝角时，；
P
例1：（2006佛山模拟卷第17题）四棱锥P—ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三角形，且和底面垂直，底面ABCD是的菱形，M为PB的中点,Q为CD的中点.
z
求证：PACD；
M
Q
C
D
B
求AQ和平面CDM所成的角。
（分析：第一小问用传统方法还是比较易证;第二小问
用传统方法y
解有一定难度,但用法向量就较简捷。)
解：
A x xxXXXXxxXX XXXxX
点Q为CD中点，，底面ABCD为菱形
为正三角形,，
以点Q为原点，PQ所在直线为Z轴，QA所在直线为X轴,QC所在直线为Y轴，如以下图建立空间直角坐标系：A（,0,0），P（0,0，)，C（0,1，0)，D（0,-1,0）

(1)、
（2）、
小结：用向量法解题，关键是建立适当的直角坐标系，从而使点坐标易找，解法简便，将几何问题转化为代数问题计算，到达事半功倍的效果。注意：假设有等腰三角形要注意利用三线合一的条件，通常取底边中线为z轴。
二、应用法向量求二面角的大小：
此法是利用两平面的法向量n,m的夹角求角，但要注意两平面的法向量n，m的夹角和二面角的大小是相等或互补,所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角"或取“补角”。
例2:（2005年湖南卷言第18题，理第17题)如图1，ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为
的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2，求二面角O—AC-O1的大小。
分析:此题找二面角O-AC-O1的平面角很难找，所以用传统方法难度较大，但用法向量就容易多了。
Z
O1
O1
C
D
C
D
B
O
B
A
X
Y
O