文档介绍：3、动量矩定理及其守恒定律
描写质点组运动规律的三个基本定理,我们已经讲了其中的一个基本定理,也就是质点组的动量定理,我们还由质点组动量定理导出了质点组的动量守恒规律和质心运动定理。下面准备要讲的是关于质点组整体运动规律的另外二个基本定理,即动量矩定理与动能定理。现在先讲质点组的动量矩定理与动量矩守恒规律。动量矩的概念我们在质点力学部分已经有过接触。在讨论质点的动量矩定理时,我曾经强调过一提到取矩,不管是计算动量矩也好,还是计算力矩也好,首先必需要明确指出以那一点为取矩的中心,或者对那一轴取矩。对质点如此,那么对质点组也得如此,讨论质点组的动量矩也同样要首先指出以那点为取矩中心,现在我们就先以任一固定点为取矩中心,推出:
质点组对固定点o的动量矩定理:
质点组动量矩的定义:假设由n个质点组成的质点组,其中第i个质点对固定点0的矢径,定义质点组的总动量矩等于组内所有质点对固定点0的动量矩的矢量和,即:。这就是质点组动量矩的定义式。与质点组动量定理的推导相类似,质点组的动量矩定理也可以由牛顿第二定理直接导出:根据牛顿第二定律得质点组中第i个质点的动力学方程为:,用乘等式的两边:并对n个这样类似的方程求和,则有:……(1)此等式的右边的第一项是质点组内所有内力对固定点的力矩的矢量和。可以证明这项矢量和必定等于零。为了推算简单起见。先证明i,j两个质点所受的一对内力对固定点O的力矩的矢量和等于零。
证明:如图所示,质点组内i,j两个质点的相互作用的内力为:j对i的作用力为,它的反作用力作用在j上,用表示。因为它们是一对作用与反作用力,所以= -。O为任意一固定点。这两个力对O点的力矩矢量和就是
。因为这两个矢量在同一方向上,所以=0。另外我们所取的两个质点是任意的,所以上面得到的结果对质点组中任意二个质点都成立。既然成对的内力矩等于零,而总内力矩正是一一成对的内力矩之和。所以由此可以推理得到:质点组中所有的内力对任一固定点0的力矩之和恒等于零。即: ,又因为将它们代入(1): 令则又可简写为这就是质点组动力学的第二个基本定理叫做质点组的动量矩定理。它表明质点组对任一固定点的动量矩对时间的变化率,就等于作用在质点组上所有外力对该固定点的力矩的矢量和。它在以固定点O为原点的固定直角坐标系上的三个分量式为:
动量矩定理的这三个分量式说明了什么物理意义?说明了质点组对某一固定轴的动量矩对时间的变化率,等于作用在质点组上的所有外力对该轴的力矩之和。由这个定理我们再一次看到内力是不能改变质点组整体的动量矩,只有外力才有可能引起质点组的总动量矩的变化。由质点组的动量矩定理可直接推出质点组的动量矩守恒定律。
动量矩守恒定律:
如果作用在质点组上的所有外力对固定点的力矩之和等于零: 由动量矩定理可得其第一积分为:。可见对同一固定点质点组的动量矩守恒,总动量矩等于恒矢量。这个关系就是质点组的动量矩守恒定律。要注意力矩之和等于零并不意味着外力之和一定等于零,这句话反过来说也不成立,也就是说外力之和等于零并不意味着外力矩之和等于零。为什么道理?我不讲了。留给大家课外去思考。与动量守恒的情形类似,如果作用在质点组上所有外力对某固定点的力矩之和虽然不等于零,但是,对通过该定点的某一固定轴例如
x轴的力矩之和为零,即时,