文档介绍：1 巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转,由旋转的性质可知旋转前后的图形全等, 对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时, 可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点, 旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来, 从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明, 供同学们参考。例1. 如图,在 Rt△ ABC 中, ∠ C=90 °,D是 AB 的中点, E,F 分别 AC和 BC 上,且 DE⊥ DF, 求证: EF 2 =AE 2 +BF 2 分析:从所证的结论来看,令人联想到勾股定理,但注意到 EF, AE, BF 三条线段不在同一个三角形中, 由于 D 是中点, 我们可以考虑以 D 为旋转中心,将 BF 旋转到和 AE 相邻的位置, 构造一个直角三角形,问题便迎刃而解。证明:延长 FD到G ,使 DG=DF ,连接 AG, EG ∵ AD=DB ,∠ ADG= ∠ BDF ∴⊿ ADG ≌⊿ BDF ( SAS ) ∴∠ DAG= ∠ DBF , BF=AG ∴ AG∥ BC ∵∠ C=90 °∴∠ EAG=90 ° ∴ EG 2 =AE 2 +AG 2 =AE 2 +BF 2∵ DE⊥ DF ∴ EG=EF ∴ EF 2 =AE 2 +BF 2例2, 如图 2,在⊿ ABC 中,∠ ACB=90 °, AC=BC ,P是⊿ ABC 内一点,且 PA=3 , PB=1 , PC=2 ,求∠ BPC 的度数. 分析: 题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角, 但已知的三条线段不在同一三角形中, 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中,由于⊿ ACB 是等腰直角三角形,宜以直角顶点 C 为旋转中心。解:作 MC⊥ CP ,使 MC=CP ,连接 PM, BM2 ∵∠ ACB=90 °,∠ PCM=90 °∴∠ 1=∠2 ∵ AC=BC , ∴⊿ CAP ≌⊿ CBM ( SAS ) ∴ MB=AP=3 ∵ PC=MC ,∠ PCM=90 ° ∴∠ MPC=45 ° 由勾股定理 PM== 22 MC PC ?=22 PC =22 , 在⊿ MPB 中, PB 2 +PM 2=(22 ) 2 +1 2 =9=BM 2 ∴⊿ MPB 是直角三角形∴∠ BPC= ∠ CPM+ ∠ MPB=45 ° +90 ° =135 ° 例3, 如图 3 ,直角三角形 ABC 中, AB=AC ,∠ BAC=90 °,∠ EAF=45 ° ,求证: EF 2 =BE 2 +CF 2 分析: 本题求证的结论和例 1 十分相似, 无法直接用勾股定理, 可通过旋转变换将 BE, CF 转移到同一个直角三角形中, 由于⊿ BAC 是等腰直角三角形, 不妨以 A 为旋转中心,将∠ BAE 和∠ CAF 合在一起,取零为整。证明:过 A作 AP⊥ AE交 BC 的垂线 CP于P ,连结 PF ∵∠ EAP=90 °,∠ EAF=45 ° ∴∠ PAF=45 ° ∵∠ BAC=90 ° ∴∠ BAE= ∠ PAC ∵ AB=AC , ∴∠ B=∠ ACB= ∠ ACP=45 ° ∴⊿ ABE ≌⊿