文档介绍：关于数学建模培训椅子问题
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模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
x
B
A
D
C
O
D´
C ´
B ´
A ´关于数学建模培训椅子问题
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模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
x
B
A
D
C
O
D´
C ´
B ´
A ´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
四只脚着地
距离是的函数
四个距离(四只脚)
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
两个距离
椅脚与地面距离为零
正方形ABCD
绕O点旋转
正方形对称性
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用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
f() , g()是连续函数
对任意, f(), g()至少一个为0
数学问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型构成
地面为连续曲面
椅子在任意位置至少三只脚着地
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模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .
因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考
建模的关键 ~
假设条件的本质与非本质
考察四脚呈长方形的椅子
和 f(), g()的确定
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商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
3名商人
3名随从
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就***越货.
?
问题分析
多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.
河
小船(至多2人)
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模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数
yk~第k次渡河前此岸的随从数
xk, yk=0,1,2,3;
k=1,2,
sk=(xk , yk)~过程的状态
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
S ~ 允许状态集合
uk~第k次渡船上的商人数
vk~第k次渡船上的随从数
dk=(uk , vk)~决策
D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
uk, vk=0,1,2;
k=1,2,
sk+1=sk dk
+(-1)k
~状态转移律
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).
多步决策问题
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模型求解
x
y
3
3
2
2
1
1
0
穷举法 ~ 编程上机
图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点
~ 10个 点
允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
s1
sn+1
d1, ，d11给出安全渡河方案
评注和思考
规格化方法,易于推广
考虑4名商人各带一随从的情况
d1
d11
允许状态
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
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背景
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
世界人口增长概况