文档介绍：关于数学建模培训椅子问题
第一张，共十四张，创建于2022年，星期六
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
x
B
A
D
C
O
D´
C ´岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.
河
小船(至多2人)
第五张，共十四张，创建于2022年，星期六
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数
yk~第k次渡河前此岸的随从数
xk, yk=0,1,2,3;
k=1,2,
sk=(xk , yk)~过程的状态
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
S ~ 允许状态集合
uk~第k次渡船上的商人数
vk~第k次渡船上的随从数
dk=(uk , vk)~决策
D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
uk, vk=0,1,2;
k=1,2,
sk+1=sk dk
+(-1)k
~状态转移律
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).
多步决策问题
第六张，共十四张，创建于2022年，星期六
模型求解
x
y
3
3
2
2
1
1
0
穷举法 ~ 编程上机
图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点
~ 10个 点
允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
s1
sn+1
d1, ，d11给出安全渡河方案
评注和思考
规格化方法,易于推广
考虑4名商人各带一随从的情况
d1
d11
允许状态
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
第七张，共十四张，创建于2022年，星期六
背景
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
世界人口增长概况
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000
人口(亿)
研究人口变化规律
控制人口过快增长
如何预报人口的增长
第八张，共十四张，创建于2022年，星期六
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
常用的计算公式
x(t) ~时刻t的人口
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
第九张，共十四张，创建于2022年，星期六
指数增长模型的应用及局限性
与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合
适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
可用于短期人口增长预测
不符合19世纪后多数地区人口增长规律
不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据
人口增长率r不是常数(逐渐下降)
第十张，共十四张，创建于2022年，星期六
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
假设
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r是x的减函数
第十一张，共十四张，创建于2022年，星期六
dx/dt
x
0
xm
xm/2
xm
t
x
0
x(t)~S形曲线,
x增加先快后慢
x0
xm/2
阻滞增长模型(Logistic模型)
第十二张，共十四张，创建于2022年，星期六
参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口
预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990