一阶常微分方程解法总结.docx

文档介绍：一阶常微分方程解法总结
第
一
章
一阶微分方程的解法的小结
,得到
⑴、可分离变量的方程
:
①、形如
dy
f
(
x )
g
(
y
)
dx
当
g
( y
)
0
时,得到
dy

x
M
(
x
,
y
)(
xdx
ydy
)
N
(
x
,
y
)(
xdy
ydx
)
0 ,
x
r
cos
,
y
以上都可以化为变量可分离方程。
例 2、1、
dy
y
x
y
5
du
,代入得到
1
du
u
u
7
,有
udu
7
dx
)
。
dx
x
y
2
解:令
u
x
2
,则
dy
dx
dx
所以
u
2
7
x
C
(
C
为常数
)
,把 u 代入得到
（
x
y
2）2
7
x
C
(
C
为常数
2
2
例 2、2、
dy
2
x
y
1
1
,令
u
x
1
,有
dy
dv
,代入得到
dx
x
2
y
1
解:由
2
x
0
得到
x
y
1
3 1
3 1
x
2
y
1
0
y
v
y
dx
du
3
3
一阶常微分方程解法总结
dv
2 u
v
2
v
,令
t
v
,有
dv
tdu
udt
,代入得到
t
(
u
dt
du
(
2
t
,化简得
u
2 v u
du
u
2 v
1
u
1
2
t
到,
du
2
1
t
2 t
2
t
2
dt
d
( 1
t
t
2
)
,有
ln
u
ln(
1
t
t
2
)
C
C
为常数
)
,所以
u
2
2 (
1
t
t
2
)
2
有
u
1
C
1
t
2
，( C
1
e
C
)
,故代入得到
x
1
1
y
C 1
y
1
2
(,
C 1
0 )
3
t
1
3
1
3
1
x
x
3
3
(3)、一阶线性微分方程
:
x )
y
h (
x )
dx
Q
(
x
)
dx
e
P
(
x )
dx
(
e
P
x
)
dx
Q
(
x
)
dx
C
)
一般形式 :
a（
x
)
dy
a 0
(
dx
标准形式 :
dy
P (
x )
y
Q (
x )
dx
解法 :1、直接带公式 :
e
P
(
x )
dx
e
P
(
x
)
y
Ce
P
(
x
)
dx
2、积分因子法 :
y
(
x
)
1
)
[
(
x
) Q
(
x
)
dx
C
]
,
(
x )
e
P
(
x )
dx
,
x
Q
(
t
)
e
t
0
P
(
s )
ds
dt
)
(
x
t
P
(
s