文档介绍：数值分析
第5章插值与逼近
主讲老师: 雷鸣
插值与逼近都是指用某个简单函数在满足一定条件下,在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数,以便于对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。
第5章插值与逼近
1 问题的提出
在科学研究和工程计算中,经常要研究变量之间的函数关系,但是在很多情况下,又很难找到具体的解析表达式,往往只能通过测量或者观察,获得一张数据表,即
§1 代数插值
这种用表格形式给出的函数,无法求出不在表中的点的函数值,也不能进一步研究函数的分析性质,如函数的导数及积分等。为了解决这些问题,我们设法通过这张表格求出一个简单的函数P(x)
这种求P(x)的方法称为插值法。
使
定义1 设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义,且
上的值为
,若存在一个简单的函数p(x) ,使
成立,则称p(x)为 f (x)
的插值函数。
为插值节点;
为插值条件;
f(x)为被插值函数;
2 插值问题的概念
已知在点
其中, [a,b]为插值区间;
从几何上说,插值法就是求一条曲线 y = P(x) 使它通过已知的(n+1)个点
并取
如图
根据不同要求,可以选择不同的插值函数。其中最简单的一类是多项式插值。多项式插值的基础问题是:根据给出的函数表,求一个不高于 n 次的代数多项式
满足插值条件②的多项式①,称为函数f(x)在节点
上的 n 次插值多项式。
①
使
②
特别当 n =1时,所求的一次插值多项式为通过两点的直线,称相应的插值问题为线性插值;
函数插值是计算方法的重要工具,我们常常借助于插值函数 P (x) 来计算被插值函数 f (x)的函数值、零点和积分等的近似值。
当 n=2时,所求的二次插值多项式为通过三点的抛物线,称相应的插值问题为抛物线插值。
从插值多项式的定义可知,要求满足插值
的 n 次插值多项式①
只要把②代入①,即可得(n+1) 个方程
3 插值多项式的存在唯一性
条件式②
的n+1元线性方程组
③
这是关于
其系数行列式