文档介绍：第二章一元函数微分学
(一)导数与微分及其计算方法
(二)微分中值定理
(三)一元函数微分学的应用
设函数
在点
的某邻域内
有定义,
(一)导数的定义与几何意义
若极限
存在,
并称此极限为
记作:
则称函数
在点
处可导,
在点
的导数或(微商).
曲线
在 M 点处的切线斜率
导数的几何意义
若上述极限不存在,
在点不可导.
若函数在开区间 I 内每点都可导,
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作:
就说函数
就称函数在 I 内
可导.
定理.
证:
设
在点 x 处可导,
存在,
因此必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续.
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例:
在 x = 0 处连续, 但不可导.
即
函数的可导性与连续性的关系
在点
的某个右邻域内
若极限
则称此极限值为
在处的右导数,
记作
即
. 设函数
有定义,
存在,
单侧导数(左、右导数)
同理可定义左导数
且
定理函数
在点
可导的充分必要条件
是
存在
简写为
在点
处右导数存在
定理3. 函数
在点
必右连续.
(左)
(左)
在 x = 0 处有
例如,
且
定理2. 函数
在点
可导的充分必要条件
是
存在
简写为
在点
处右导数存在
定理3. 函数
在点
必右连续.
(左)
(左)
与
都存在,
显然:
在闭区间[a , b] 上可导
则称
在闭区间上可导.
若函数
在开区间内可导,
且
在闭区间[a, b]上连续.
注意:若设函数
在点可导,则
当时,
设存在,求极限
其中a,b 为非零常数.
解
因为存在,所以
设 f (x) 处处可导,则
( A ) 当
时,必有
( B ) 当
时,必有
( C ) 当
时,必有
( D ) 当
时,必有
分析
举反例,令
排除(A), (C).
再令
则排除(B).
应选(D).
证明
所以,对于任意的正数M,
存在正数 X,
当时,
由微分中值定理