文档介绍：立体几何大题
,一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角.
A
B
C
第1题图
A
B
C
D
第1题图
(1)如果你手中只有一把能度量长度的直尺,应该如何确定A,B的位置,使二面角A-CD-B是直二面角?证明你的结论.
(2)试在平面ABC上确定一个P,使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直,证明你的结论.
(3)如果在折成的三棱锥内有一个小球,求出小球半径的最大值.
解:(1)用直尺度量折后的AB长,若AB=4cm,则二面角A-CD-B为直二面角.
∵△ABC是等腰直角三角形,
又∵ AD⊥DC,BD⊥DC.
∴∠ADC是二面角A-CD-B的平面角.
(2)取△ABC的中心P,连DP,则DP满足条件
∵△ABC为正三角形,且 AD=BD=CD.
∴三棱锥D-ABC是正三棱锥,由P为△ABC的中心,知DP⊥平面ABC,
∴ DP与平面内任意一条直线都垂直.
(3)当小球半径最大时,此小球与三棱锥的4个面都相切,设小球球心为0,半径为r,连结OA,OB,OC,OD,三棱锥被分为4个小三棱锥,且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r,故有代入得,即半径最大的小球半径为.
,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3,侧棱长为4,连结A1B,过A作AF⊥A1B垂足为F,且AF的延长线交B1B于E。
(Ⅰ)求证:D1B⊥平面AEC;
(Ⅱ)求三棱锥B—AEC的体积;
(Ⅲ)求二面角B—AE—C的大小.
证(Ⅰ)∵ABCD —A1B1C1D1是正四棱柱,
∴D1D⊥ABCD.
连AC,又底面ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
由三垂线定理知 D1B⊥AC.
同理,D1B⊥AE,AE∩AC = A,
∴D1B⊥平面AEC .
解(Ⅱ)VB-AEC = VE-ABC .
∵EB⊥平面ABC,
∴EB的长为E点到平面ABC的距离.
∵Rt△ABE ~ Rt△A1AB,
∴EB =
∴VB-AEC = VE-ABC =S△ABC·EB
=××3×3×
= (10分)
解(Ⅲ)连CF,
∵CB⊥平面A1B1BA,又BF⊥AE,
由三垂线定理知,CF⊥AE .
于是,∠BFC为二面角B—AE—C的平面角,
在Rt△ABE中,BF =,
在Rt△CBF中,tg∠BFC =,
∴∠BFC = arctg.
A
B
C
A1
B1
C1
M
第3题图
即二面角B—AE—C的大小为arctg.
,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1,点
M在BC上,△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.
(I)求证:点M为BC的中点;
(Ⅱ)求点B到平面AMC1的距离;
(Ⅲ)求二面角M—AC1—B的正切值.
答案:(I)证明:∵△AMC1是以点M为直角
顶点的等腰直角三角形,
∴AM⊥MC1且AM=MC1
∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中,
有CC1⊥底面ABC.
∴C1M在底面内的射影为CM,
由三垂线逆定理,得AM⊥CM.
∵底面ABC是边长为1的正三角形,
∴点M为BC中点.
(II)解法(一)
过点B作BH⊥C1M交其延长线于H.
由(I)知AM⊥C1M,AM⊥CB,
∴AM⊥平面C1CBB1.
∴AM⊥BH. ∴BH⊥平面AMC1.
∴BH为点B到平面AMC1的距离.
∵△BHM∽△C1CM.
AM=C1M= 1M中,1
解法(二)
设点B到平面AMC1的距离为h.
则
由(I)知 AM⊥C1M,AM⊥CB,
∴AM⊥平面C1CBB1
∵AB=1,BM=
(III)过点B作BI⊥AC1于I,连结HI.
∵BH⊥平面C1AM,HI为BI在平面C1AM内的射影.
∴HI⊥AC1,∠BIH为二面角M—AC1—B的平面角.
在Rt△BHM中,
∵△AMC1为等腰直角三角形,∠AC1M=45°.
∴△C1IH也是等腰直角三角形.
由C1M=
∴
,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2,AB=1,F是CD的中点.
(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;
(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积;
(Ⅲ)求二面角C-BE-D 的正切值.
证:(Ⅰ)取CE中点M,连结FM,BM,则有.
∴四边形AFMB是平行四边形.
∴AF//BM,
∵平面BCE,
平面BCE,
∴AF//平面BCE.
(Ⅱ)由于DE⊥平