文档介绍：,AD、BE、CF是△ABC的三条高,
求证:AD、BE、CF相交于一点。
A
B
C
D
E
F
H
又∵点D在AH的延长线上,∴AD、BE、CF相交于一点.
证:设BE、CF交于一点H,
垂心
A
B
C
O
证:设
⊿ABC所在平面内一点,且满足:
求证:
化简:
同理:
从而
垂心
例3. O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,

动点 P 满足
则P的轨迹一定通过△ABC的_______
∵
∴
∴
在△ABC的边BC的高AD上.
P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
所以,
时,
解:
解:
例4.(2005全面上一点,
若,
则点O是ΔABC的( )
(A)三个内角的角平分线的交点
(B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点
(D)三条高线的交点
则O在CA边的高线上,
同理可得O在CB边的高线上.
D
垂心
5. (2005湖南) P是△ABC所在平面上一点,若则P是△ABC的( )

D
三、重心
A
B
C
A
B
C
A
B
C
三角形三边中线交于一点,这一点叫三角形的重心。
证明重心定理
E
F
D
G
证明重心定理
例1. P是△△ABC的重心
证明:
∵G是△ABC的重心
即
由此可得
(反之亦然(证略))
思考: 若O为△ABC外心,G是△ABC的重心,则
O为△ABC的内心、垂心呢?
:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍.
A
B
C
E
F
D
G
证:设
∵A, G, D共线,B, G, E共线.
∴可设
即:AG = 2GD 同理可得:AG = 2GD , CG = 2GF .
重心
:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍.
另证:
A
B
C
E
F
D
G
重心
想想看?
3.(2006陕西)已知非零向量与满足

则△ABC为( )

解法一:根据四个选择项的特点,本题可采用验证法来处理.
不妨先验证等边三角形,刚好适合题意,则可同时
排除其他三个选择项,故答案必选 D.
D
法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,
是处理本题的巧妙方法;法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系,如所在直线一定通过△ABC的内心; 所在
直线过BC边的中点,从而一定通过△ABC的重心;
所在直线一定通过△ABC的垂心等.