文档介绍：第一章随机事件及其概率
自然界和社会上发生的现象可以分为两大类:
一类是,事先可以预言其必然会发生某种结果,即在保持条件不变的情况下重复实验或观察,它的结果总是确定的。这类现象称为确定性现象。
另一类是,事先不能预言其会出现哪种结果,即在保持条件不变的情况下重复实验或观察,或出现这种结果或出现那种结果。这类现象称为随机现象。
随机现象虽然对某次实验或观察来说,无法预言其会出现哪种结果,但在相同条件下重复进行大量的实验或观察,其结果却又呈现出某种规律性。随机现象所呈现出的这种规律性,称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1 随机事件
一、随机试验与样本空间
我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验,简称试验,通常用大写字母E表示。
举例如下:
E1:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况;
E2:将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况;
E3:将一枚硬币抛掷两次,观察正面H出现的次数;
E4:投掷一颗骰子,观察它出现的点数;
E5:记录某超市一天内进入的顾客人数;
E6:在一批灯泡里,任取一只,测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点:
(1)每次试验的结果具有多种可能性,并且能事先明确知道试验的所有可能结果;
(2)每次试验前,不能确定哪种结果会出现;
(3)试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验E的所有可能结果的集合称为E的样本空间,记作。样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点,一般用表示,可记。
上面试验对应的样本空间:
;
;
;
;
;
。
注意,试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件
试验E样本空间的子集称为E的随机事件,简称事件,通常用大写字母A,B,C,…表示。设是一个事件,当且仅当试验中出现的样本点时,称事件在该次试验中发生。
由一个样本点组成的单点集称为基本事件。
样本空间称为E的必然事件,每次试验中它都发生。空集称为E的不可能事件,每次试验中它都不发生。
例如,E4中“出现偶数点”、“出现奇数点”都是随机事件,“出现点数不超过6”是必然事件,“出现点数超过7”是不可能事件。
【例】一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球,现从中任意取出一球,试写出样本空间及下列事件是由哪些基本事件组成的。
(1)事件:“摸出的是白球”;
(2)事件:“摸出的是黑球”。
解先对球编号,令1、2、3号球为白球,4、5号球为黑球,并设“取得第号球”其中()。则样本空间, 和
(1)事件;
(2)事件。
三、事件的关系与运算
事件间的关系和运算按照集合间的关系和运算来处理。
在试验中,若事件发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A或称事件包
含于事件,记为或。此时,事件中的基本事件必属于事件,即是的一个子集。
例如,中,若记表示“出现奇数点”,表示“出现点数不超过5”,显然,即事件包含事件。
事件的包含关系有以下性质:
(1);
(2)若,,则;
(3)。
若,且,则称事件A和事件B相等,记为。此时,
与拥有完全相同的基本事件。
(和运算)
在试验中,事件与事件至少有一个发生的事件,称为事件A与事件B的并(或和事件),记为。此时,就是由属于事件或属于事件的全部基本事件组成的集合。
例如,中,若记表示“出现奇数点”,表示“出现点数不超过4”,则表示“出现点数不超过5”。
易知,若,则。
类似地,称“个事件中至少有一个发生”的事件为个事件,,…,的并,记为
。
(积运算)
在试验中,事件与事件同时发生的事件,称为事件A与事件B的交(或积事件),记为(或)。此时,就是由既属于事件又属于事件的全部基本事件组成的集合。
例如,中,若记表示“出现奇数点”,表示“出现点数不超过2”, 则表示“出现点数为1”。
易知,若,则。
类似地,称“个事件同时发生”的事件为个事件,,…,的交,记作
或
(差运算)
在试验中,事件发生而事件不发生的事件称为事件A与事件B的差(或差事件),记为。此时,就是由属于事件A而不属于事件的全部基本事件组成的集合。
例如,中,若记表示“出现奇数点”,表示“出现点数不超过4”,则表示“出现点数为5”。
在试验中,若事件A与事件不能同时发生,则称事件A与事件是互不相容的(或互斥的),记为(或)。此时,事件A与事件不相交,或它们的交是空集,即事件A与事件没有公共的基本事件。
例如,中,若记表示“出现奇数点”,表示“出现小于5的偶数点”,则,即是互不相容事件,不可能同时“出现奇数点”和“出现偶数点”。
在一次试