文档介绍：习题三
1 甲,乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为
X
0 1 2 3
PX ( xi )
Y
0 1 2 3
PY ( yi )
0
若两台机器的日产量相同,问哪台机器较好?
解:甲台机器一天的平均次品数 EX = 0 × +1× + 2 × + 3 × = 1;
乙台机器一天的平均次品数 EY = 0 × +1× + 2 × + 3 × 0 = ,
∵ EX > EY , 而两台机器的日产量相同,所以乙台机器较好。
x
2 某种电子元件的寿命 X (单位: h )的概率密度为:
⎧
f ( x) = ⎨á
á
2 − x ,
xe x
> 0;
其中 > 。
á
⎩0, x < 0.
+∞ +∞ +∞ 2
解: = ∫
( ) = ∫
2 −á = 2 ∫ 2 −á
利用两次分部积分,可得
= 。
EX xf x dx xá
xe dx á
x e dx EX
−∞ 0 0 á
3 设随机变量 X 的概率密度为
x
⎧k á , 0 < x < 1; 的值
f x
( ) = ⎨
⎩0, 其它.
已知 = , 求及 .
x
EX
+∞
f
解:因为 ( x) 是密度函数,所以∫−∞
f ( x) = 1, 即
á
+1
á 1
+
1
∫
0 kx dx = 1 ⇒ k
又
x = 1 ⇒
+ 1 0
á á
1
á
k = 1;
k á
1
+ 2
á 1
EX = ,∴
∫0 xkx dx = ⇒ k
x + 2 0 =
k = 075;
+ 2
á á
á
两式联立可解得 = 3, = 2.
k
4 设设随机变量 X 的概率分布如下:
-1 0 1 2
X
1 1 1 1
P ( x ) 6 6 6 2
X i
求 , (−2
+ 1), 2 .
EX E X EX
解: = (−1) × 1 + 0 × 1 + 1× 1 + 2 × 1 = 1;
EX 6 6 6 2
E (−2 X + 1) = (−2) EX + 1 = −1;
1 = .
EX 6 6 6 2 3
5 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品,安装机器时从这批零件中任取一个。如果取出的废
品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望,方差与标准差。解:设 表示取得合格品以前已取出的废品数,则 的概率分布为
X X
0 1 2 3
P
X
9 1 1
2
12 P3 P9
P12
即
2 1
P3 P9
3
P12
3 1
P3 P9
4
P12
0 1 2 3
X
330
P
440
90
440
18
440
1
440
1 = ≐ ;
EX 440 440 440 440
= 2 −( )2 = 12 × 90 + 22 × 18 + 32 × 1 −(129 )2 ≐
DX EX EX
440 440 440 440
ó X = DX
≐ .
x
⎧0, < −1;
⎪
6 设随机变量 的分布函数为 F ( x) = ⎨a + b arcsin x, −1 ≤ x ≤ 1; 试确定常数 a, b ,并求
X
与 。
EX DX
⎪
⎩1, x > 1.
⎪
⎧ b , −1 ≤ ≤ 1;
1
x +∞
解: ( ) = ⎨ 1 − 2
又∫ ( )
= 1,
f x ⎪ x
−∞ f x dx
⎩0, 其它.
1
∴∫= b
= 1, ∴arcsin1 − arcsin(−1) = 1 ⇒ = ;
x
−1 1
− 2 dx b b ð
F (0) = a + b arcsin 0 = a;
又(0) = (
0
≤ 0) = ∫
0 1 1 1
=
( ) = ∫,
F P X
∴ = 1 .
−∞ f x dx
−1 ð 1 −
2 dx 2
x
a 2
+∞ 1
1 1 1 1
∵
∫−∞
dx ∫−1
1 − 2
1 − 2
EX =
xf ( x) =
x dx, x
是奇函数,积分区间是对称区间,