文档介绍：统计量及其抽样分布
总体与样本
总体与个体
在一个统计问题中,我们把研究对象的全体称为总体,构成总体的每个成员称为个体。对多数实际问题。总体中的个体是一些实在的人或物。比如,我们要研究某大学的学生身高情况,则该大学的全体学生构成问题的总体,而每一个学生即是一个个体。事实上,每个学生有许多特征:性别、年龄、身高、体重、民族、籍贯等。而在该问题中,我们关心的只是该校学生的身高如何,对其他的特征暂不予以考虑。这样,每个学生(个体)所具有的数量指标值——身高就是个体,而将所有身高全体看成总体。这样一来,若抛开实际背景,总体就是一堆数,这堆数中有大有小,有的出现的机会多,有的出现的机会少,因此用一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的。从这个意义上看,总体就是一个分布,而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。以后说“从总体中抽样”与“从某分布中抽样”是同一个意思。
[例6-1]考察某厂的产品质量,将其产品只分为合格品与不合格品,并以0记合格品,以1记不合格品,则
总体={该厂生产的全部合格品与不合格品}={由0或1组成的一堆数}。
若以p表示这堆数中1的比例(不合格品率),则该总体可由一个二点分布表示:
不同的p反映了总体间的差异。例如,两个生产同类产品的工厂的产品总体分布为:
我们可以看到,第一个工厂的产品质量优于第二个工厂。
实际中,分布中的不合格品率是未知的,如何对之进行估计是统计学要研究的问题。
样本
为了了解总体的分布,我们从总体中随机地抽取n个个体,记其指标值为x1,x2,…,xn,则x1,x2,…,xn称为总体的一个样本,n称为样本容量,或简称样本量,样本中的个体称为样品。
我们首先指出,样本具有所谓的二重性:一方面,由于样本是从总体中随机抽取的,抽取前无法预知它们的数值,因此,样本是随机变量,用大写字母X1,X2,…,Xn表示;另一方面,样本在抽取以后经观测就有确定的观测值,因此,样本又是一组数值。此时用小写字母x1,x2,…,xn表示是恰当的。简单起见,无论是样本还是其观测值,本书中样本一般均用x1,x2,…,xn表示,读者应能从上下文中加以区别。
[例6-2]啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640g,,由于随机性,事实上不可能使得所有的啤酒净含量均为640g ,现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测定其净含量,得到如下结果:
641 635 640 637 642 638 645 643 639 640
这是一个容量为10的样本的观测值。对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。
【答疑编号:10060101针对该题提问】
从总体中抽取样本时,为使样本具有代表性,抽样必须是随机抽样。通常可以用随机数表来实现随机抽样。还要求抽样必须是独立的,即每次的结果互不影响。在概率论中,在有限总体(只有有限个个体的总体)中进行有放回抽样,是独立的随机抽样;然而,若为不放回抽样,则是不独立的抽样。但
当总体容量N很大但样本容量n较小时,不放回抽样可以近似地看做放回抽样,即可近似看做独立随机抽样。
下面,我们假定抽样方式总满足独立随机抽样的条件。
从总体中抽取样本可以有不同的抽法,为了能由样本对总体做出较可靠的推断,就希望样本能很好地代表总