文档介绍：一、对应与变换
2. 对应的乘积(复合)
第0章几何变换概论
1. 集合之间的对应(关系、映射)
. 设f 为集合A到B的一个对应, g 为集合B到C的一个对应. 则由此可确定集合A到C的一个对应h, 称h 为f 与g的乘积. 记作g◦f , 即
. (1). 两个双射的乘积仍然是一个双射, 进而, 任意有限个双射的乘积仍然是一个双射.
(2). 对应的乘法满足结合律, 即h◦g◦f =h◦(g◦f )=(h◦g)◦f.
注:对应的乘法一般不满足交换律, 即一般地, g◦f≠f◦g.
一、对应与变换
第0章几何变换概论
3. 变换
. 集合A到自身的对应f 称为变换, 若f 是双射, 则称f 为集合A上的一个一一变换.
注. (1). 变换是特殊的对应.
(2). 设在A上定义了一个变换f , 则A的任一个元素a都具有双重身份, 即a既是A中某个元素在f 下的像, 也是A中某个元素在f 下的原像, 因为f -1也是A上的一个变换.
(3). 集合A上的变换f 与自身的乘积f◦f也记作f 2.
. 若集合A上的一个变换将A的每一个元素变为其自身, 则称之为集合A上的一个恒同变换, 恒同变换记作i.
一、对应与变换
2. 对应的乘积(复合)
第0章几何变换概论
3. 变换
. 设f 为集合A上的一个双射. 则
. 设f 为集合A上的一个双射. 若存在a∈A, 满足f(a)=a, 则称a为f 的一个不变元素. 设P为集合A中的元素或子集所带有的某种性质(或数量), 若变换f 能够保持P不变, 则称P为变换f 的一个不变性质(或数量), f 的不变性质和数量统称为f 的不变性.
归纳:高等几何将用几何变换的观点讨论问题, 主要是研究几何空间中的图形在某种双射(一一变换)下的不变性. 类似于代数中对同构的讨论.
一、对应与变换
第0章几何变换概论
二、正交变换
解几中的坐标变换
平面上的点、图形均不改变其位置, 但是随着坐标系的变动而取得不同的坐标或得到不同的描述.
改变观点
平面上的点变换
在平面上点的集合上给定某种双射(一一变换)f , 研究点以及由点构成的图形与他们在f 下的像之间的关系.
坐标系运动而点和图形不动
点和图形运动而坐标系不动
第0章几何变换概论
二、正交变换
1. 正交变换
. 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上的一个正交变换.
(1). 两个正交变换的积是一个正交变换, 从而任意有限个正交变换的积是一个正交变换.
(2). 平面上的恒同变换是一个正交变换.
, 显然.
注:设φ为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且φ(A)=A', φ(B)=B', 则|AB|=|A'B'|.
第0章几何变换概论
二、正交变换
1. 正交变换
正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明设A, B, C为平面上三点, φ为正交变换, 且上述三点在φ下的像依次为A', B', C'.
若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变换的定义有
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间.
若A, B, C不共线, 则必有
即A', B', C'仍然为不共线三点.
第0章几何变换概论
二、正交变换
1. 正交变换
正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明设A, B, C为平面上三点, φ为正交变换, 且上述三点在φ下的像依次为A', B', C'.
设A, C分别在∠B两边上且异于B, 则A', B'分别在∠B'的两边上. 且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ΔABC≌ΔA'B'C', 于是, ∠B =∠B', 即正交变换保持两直线的夹角不变.
注:(1). 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得任何平面图形变为可以与其重合的图形.
(2). 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全等的矩形.
第0章几何变换概论
二、正交变换
1. 正交变换
正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系.
, 显然正交变换φ将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角坐标系O'-e'xe'
右手系→右手系
右手系→左手系