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第三章变换群与几何学
一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
保持l∞:x3=0不变的射影变换叫做射影仿射变换, 形如
作用于射影仿射平面(拓广平面上).
将()式化为非齐次, 去掉无穷远直线, 得仿射变换
作用于一般仿射平面上.
若()中矩阵A为正交阵, 则为正交变换, 其齐次坐标表达式称为射影正交变换.
二、群与变换群
第三章变换群与几何学
三、平面上的几个变换群
K={平面上全体射影变换}
KA={平面上全体射影仿射变换}
KM={平面上全体射影正交变换}
A={平面上全体仿射变换}
M={平面上全体正交变换}
射影平面
仿射平面
射影变换群K
射影仿射变换群KA
射影正交变换群KM
仿射变换群A
正交变换群M
上述5个变换群之间显然有下列关系:
在射影平面P上
在仿射平面PA上
第三章变换群与几何学
四、Klein变换群观点
设S为一个非空集合, , S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G).
S的子集(图形)在G下被分成若干等价类, 属于同一等价类的图形具有相同的G性质(G给S赋予空间结构)
注:显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学.
几何学(S, G)
第三章变换群与几何学
四、Klein变换群观点
设Σ≠Ø 为S的子集, H为G的子群, 且对任意的g∈H, 都有g(Σ)=Σ, 又HΣ为Σ上的一个变换群, 且HΣ≌H. 则称(Σ, HΣ)为(S,G)的一个以(S,H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S\Σ为的绝对形.
如果(S,G)为一个几何学, H为G的子群. 则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学.
H
G
S
几何学(S,G)
子几何学(S,H)
H
G
几何学(S,G)
子几何学(S,H)
HΣ
S
Σ
相对子几何学(Σ, HΣ)
例如:
第三章变换群与几何学
四、Klein变换群观点
射影几何
射影仿射几何
射影欧氏几何
仿射几何
欧氏几何
绝对子几何关系
相对子几何关系
伴随关系
绝对形: l∞=P\PA.
变换群关系
第三章变换群与几何学
五、几种几何学的比较
1、射影几何学
空间
射影平面P
主变换群
射影变换群K
研究内容
图形在射影变换下的不变性质和数量
同素性, 关联性
交比
其余所有射影不变性
在射影平面上做演绎推理、对偶变换
基本射影不变性
第三章变换群与几何学
五、几种几何学的比较
2、仿射几何学
空间
射影仿射平面P
主变换群
射影仿射变换群KA
研究内容
图形在射影仿射变换下的不变性质和数量
注:通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学.
射影仿射几何学
空间
仿射平面PA
主变换群
仿射变换群A
研究内容
图形在仿射变换下的不变性质和数量
仿射几何学
可用对偶原则
不可用对偶原则
第三章变换群与几何学
五、几种几何学的比较
2、仿射几何学
空间
仿射平面PA
主变换群
仿射变换群A
研究内容
图形在仿射变换下的不变性质和数量
仿射几何学
绝对形
无穷远直线
仿射几何——射影几何的以射影仿射几何为伴随子几何的相对子几何学. 仿射几何——首先包括射影几何的所有研究内容.
仿射变换保持平行性不变.
注:平行性是最基本的仿射不变性.
第三章变换群与几何学
五、几种几何学的比较
2、仿射几何学
设P1, P2为通常直线上的两个相异的点, P为该直线上任一通常点. 定义
注:单比是最基本的仿射不变量.
为P1, P2 , P的简单比, 或称单比. 称P1, P2为基点, P为分点.
由(P1P2P)=(P1P2, PP∞)立即可见
单比是仿射不变量.
仿射不变性
平行性
单比
平行线段的比, 两三角形面积之比, 线段的中点, 三角形的重心, 梯形, 平行四边形, ……