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1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(此题总分值15分,.)
(1) 曲线在点处的切线方程是__ _ .
(2) 幂级数的收敛域是__ _ 分布函数是右连续函数,因此对任何,有
对于,有
令 ,得到,
因在处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此
所以
(5)【答案】
【解析】由切比雪夫不等式,有
二、选择题(此题总分值15分,每题3分.)
(1)【答案】(B)
【解析】由洛必达法那么有
所以与是同阶但非等价无穷小量.
(2)【答案】(C)
【解析】由不定积分的概念与性质可知,
为常数.
故应选(C).
(3)【答案】(C)
【解析】此题考察的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.
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因为对矩阵来说,行与列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了
的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.
以3阶矩阵为例,假设 ,
条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、
(B)不满足题意,不可选.
假设,那么,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.
这样用排除法可知应选(C).
(4)【答案】(C)
【解析】当行列式的一行(列)是两个数的与时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之与,拆开时其它各行(列).
因此,假设要拆开阶行列式,那么应当是个阶行列式的与,所以(A),它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.
假设,那么
而且存在时,不一定都存在,所以选项(D)是错误的.
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由行列式乘法公式知(C)正确.
注意,行列式是数,,故(B)不正确.
(5)【答案】D
【解析】设事件“甲种产品畅销〞,事件“乙种产品滞销〞,那么事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销〞可表示为那么
“甲种产品滞销或乙种产品畅销〞,应选(D).
三、计算题(此题总分值15分,每题5分.)
(1)【解析】这是型未定式求极限.
设,那么当时,.于是
令,那么时,
所以 ,
所以 ,
由洛必达法那么得
所以 .
(2)【解析】方法一：先求,,
故
方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得
于是有 .
再对外求偏导数,即得
【相关知识点】复合函数求导法那么：假设与在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,那么复合函数
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在点处的偏导数存在,且
(3)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为
特征根为,故对应齐次微分方程的通解为.
设所给非齐次方程的特解为,代入方程,比拟系数,得,故所求方程的通解为
为常数.
【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果,那么二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如
的特解,其中与同次(次)的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为、或.
四、(此题总分值9分)
6
4
2
【解析】(1)收益函数
边际收益函数
(2)由 ,得.
又 .
因此在取极大值.
又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为.
所以,当生产量为2时,收益取最大值,.
(3) 由以上分析可列下表,并画出收益函数的图形.
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2
4
+
0
-
-
-
-
-
-
0
+
,凸
极大值
,凸
拐点
,凹
五、(此题总分值9分)
【解析】(1)为分段函数,由定积分的性质,
(2)用定积分换元法,
令,那么,所以
而 ,
故 .
(3) 用定积分换元法,
令,那么,所以
而 ,
故 .
(4)利用以上结果,有
六、(此题总分值6分)
【解析】对两边对求导,得
证法一：由积分中值定理知,在内存在一点使得,
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所以 .
又因为,故有,所以.
证法二：令,那么
因为,所以,
即在上为减函数,所以,
所以 .
七、(此题总分值5分)
【解析】方法一：此题可采用一般的解法如下：
由得
因为
所以
方法二：此题还可用由作初等行变换,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.
第一行