文档介绍：单倒置摆控制系统的建模及
MATLAB仿真
背景：
单倒置摆系统是一个不稳定系统，当给系统施加外力时，倒置摆向左或向右倾倒，影响系统稳定，同时单
倒置摆系统典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统1m,g
,则系统状态方程中参数矩阵为：
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1000
（9）
A
0
0
,b
，c
0
1
0
0
0
11
0
1
此时倒置摆的状态空间模型表达式为：
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
（
）
x
x
u
0
0
0
10
0
1
0
0
11
0
1
y1000x
其系统的结构图如下：
图1单倒置摆开环系统结构图
被控对象特性分析
能控性分析
根据能控性的秩判据，并将式（9）的有关数据带入该判据，可得
rankMrankbAbA2bA3b4（11）
因此，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用u,将非零状态x转移到零。
仿真：
代码：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;
N=size(A);n=N(1);
sys0=ss(A,b,c,d);
S=ctrb(A,b)；
f=rank(S);
iff==n
disp('系统能控')
else
disp('系统不能控')
end
结果截图：
系统能控
稳定性分析
由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为：
I
A
2(
2
11)0
（12）
解得特征值为
0,0，
11，-
11
。四个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，
即被控系统不稳定的。
仿真:采用matlab对被控对象进行仿真，如下图所示为倒摆没有添加任何控制器下四个变量的单位
阶跃响应。如图可知，系统不稳定，不能到达控制目的。
代码：
A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;
sys0=ss(A,b,c,d);
t=0::5;
[y,t,x]=step(sys0,t);
subplot(2,2,1);
plot(t,x(:,1));grid
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');
title('z');
subplot(2,2,2);
plot(t,x(:,2));grid;
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');
title('z的微分');
subplot(2,2,3);
plot(t,x(:,3));grid
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');
title('\theta')
subplot(2,2,4);
plot(t,x(:,4));grid
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');
>>title('\theta的微分')
结果：
图2单倒置摆开环系统的个变量的阶跃响应曲线
由上面两个方面对系统模型进行分析，可知被控系统是具有能控性的，但是被控系统是不稳定的，需对被
控系统进行反馈综合，使四个特征值全部位于根平面S左半平面的适当位置，以满足系统的稳定工作已达到良好、静态性能的要求。因此我们需要设计两种控制器方案来使系统到达控制的目的，分别为：全维状
态观测器的设计和降维观测器的设计。
五两个方案
单倒置摆全状态反馈
采用全状态反馈。取状态变量
z、z、θ、
为反馈信号，状态控制规律为
uvkx