文档介绍：数学物理方法陈尚达材料与光电物理学院数学物理方法第二章复变函数的积分柯西定理问题:在什么样的条件下复变函数的积分只和起点和终点有关,而和积分路径无关呢? (一)单通区域情形单通区域柯西定理:如果函数在单连通区域内及其边界线 L上解析(即为在单连通闭区域解析),那么函数沿边界 L或区域内任意闭曲线的积分为零,即 BB ( )d 0 l f z z ??(1) ( ) f z B G 数学物理方法证明: 前面已经给出,积分可由两个实函数积分给出( ) l l l f z dz udx vdy i vdx udy ? ???? ? ?由于函数解析,因而四个偏导数存在且连续,对上式实部和虚部分别应用格林公式( ) l s Q P Pdx Qdy dxdy x y ? ?? ??? ?? ?将回路积分化为曲面积分,有( ) ( ) ( ) l s s v u u v f z dz dxdy i dxdy x y x y ? ? ???? ???? ? ??? ?? ??由柯西-黎曼条件有( )d 0 l f z z ??数学物理方法数学物理方法(二)复连通域情形函数在某区域上并非处处解析,存在不可导(甚至不连续或者根本没定义)的点,这样的点叫奇点。为了把奇点排除在区域外,需要做适当的闭合曲线将这些奇点分隔开,或者形象的说把这些奇点挖掉形成某种带“孔”的区域,即复通区域。 1 ( ) ( ) 0 inlil f z dz f z dz ?? ??? ?(2) 区域境界线正方向:当观察者沿这个方向前进时, 区域总是在观察者的左边。复通区域的柯西定理:如果是闭复通区域上的单值解析函数,则( ) f z 数学物理方法证明略。证明思路: 1、作割线连接外境界线和内境界线,复连通区域单连通化。 2、运用单连通柯西定理。 1 ( ) ( ) inlil f z dz f z dz ???? ?数学物理方法总结:单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为: (i) 在闭单连通区域中的解析函数,沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零; (ii) 在闭复连通区域中的解析函数,沿所有边界线的正方向(即外边界取逆时针方向,内边界取顺时针方向)的积分为零; (iii) 在闭复连通区域中的解析函数,按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和. 计算积分: ,其中为整数, 路径为包围的任意闭合路径。( ) nldz z a ?? n z a ?解: 当时,函数为解析函数,由柯西定理有: 0n? 0, 0 ( ) nl dzn z a ? ???当时, 为函数的奇点,以 a为圆心,作一圆,则由复通区域的柯西定理有 0n? z a ?' ( ) ( ) n n l l dz dz z a z a ?? ?? ?从而可以比较方便求出结果。 2 , 1 0, 1 ( ) nl i n dzn z a ????????? 计算,其中 C为圆周, 且取正向. 解: 要注意在内只有一个奇点,将分成为 d ( i)( 3) Cz z z ? ?? 2z?1 ( ) ( i)( 3) f z z z ?? ? 2z? iz?( ) f z 1 1 1 ( ) 3 i i 3 f z z z ? ?? ?? ?? ??? ? d 1 1 1 d ( i)( 3) 3 i i 3 C C zz z z z z ? ?? ?? ?? ? ????