文档介绍：第二章线性控制系统的运动分析
线性定常齐次状态方程的解
矩阵指数函数
状态转移矩阵
线性定常非齐次状态方程的解
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[预备知识]:线性定常系统的运动
1、自由运动:线性定常系统在没有控制作用,即u=0时,由初始状态引起的运动称自由运动。
齐次状态方程的解:
2、强迫运动:线性定常系统在控制u作用下的运动,称为强迫运动。
非齐次状态方程的解:
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第一节线性定常齐次状态方程的解
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满足初始状态的解是:
一、直接求解:
1、标量齐次微分方程:
满足初始状态的解是:
满足初始状态的解是:
2、齐次状态方程
其中:
定义为矩阵指数函数,和A一样也是n×n阶方阵
[线性定常齐次状态方程的求解方法]:直接求解,拉氏变化求解
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求解过程:仿标量方程求解
将式(4)代入式(1),即可得到通解为:
(5)
式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得:
(4)
(1)(2)代入状态方程得:
(3)
设齐次状态方程的解为
当时,由上式可得
此处
(1)
式(1)左右求导得:
(2)
--标量齐次状态方程
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二、拉氏变换求解:
两边取拉氏变换得:
整理得:
齐次状态方程:
初始状态为:
与直接求解的结果(5)比较,由解的唯一性得:
仿标量系统得:
拉氏反变换得:
---(6)
[本节小结]:
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第二节矩阵指数函数的性质和计算方法
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一、矩阵指数函数的性质:
2、
[证明]:矩阵指数函数定义中,令t=0即可得证
3、总是非奇异的,必有逆存在,且:
[证明]:
1、设A为n×n阶矩阵,t1为t2两个独立自变量,则有:
[证明]:根据定义证明
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5、对有:
4、对于n×n阶方阵A和B:
如果A和B可交换,即A×B= B×A,则
如果A和B不可交换,即A×B  B×A,则
6、如果P是非奇异阵,即存在,则必有:
[证明]:根据定义证
和
[注意]:
[用途]:此性质经常用于计算
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7、如果A是n×n阶对角阵,则也是n×n阶对角阵:
则有:
如果:
[证明]:根据定义证
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