实变函数测试题.doc

文档介绍：实变函数测试题 1 1、设 2 1 2 (0,1/ ), (0, ), 0,1, 2..., n n A n A n n ?? ?? n求出集列{A } 的上限集和下限集合。解:??????,0 lim nnA ;设????,0x , 则存在 N,使 x N ?, 因此 n N ?时,0 x n ? ?,即nAx 2?,所以 x 属于下标比 N 大的一切偶指标集,从而 x 属于无限多 nA ,得 nnAx ??? lim 又显然??????,0 lim nnA ,所以??????,0 lim nnA 。???? nnA lim ; 若有 nnAx ??? lim , 则存在 A, 使任意 n N ?,有nAx?。因此若 2 1 n N ? ?时, 12?? nAx ,即10xn ? ?.令?? n 得 0 0 x ? ?,此不可能,所以???? nnA lim 。 2、证明: ( ) f x 为[ , ] a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数 c ,集??( ) E x f x c ? ?和?? 1 ( ) E x f x c ? ?都是闭集。证明:必要性:若( ) f x 是??, a b 上连续函数,由第二章习题 8 可知 1E 和E 是闭集。充分性:若 1E 和E 都是闭集。若有?? 0, x a b ?, ( ) f x 在0x 点不连续。则存在???? 0 0 0 0 0, , n n x x f x f x ? ?? ? ??,或???? 00???xfxf n , 不妨设出现第一种情况。令?? 00???xfc , 则???? cxfxEx n???,而Ex? 0 ( 因为cxfxf??? 000)()(?), 此与 E 是闭集相矛盾。所以( ) f x 在??, a b 上是连续的。证毕。 3、设nRE?是任意可测集,则一定存在可测集?G 型集 G ,使得 EG?,且?? 0??EGm 证: 由外侧度定义, 对任意正整数 n , 存在开集 EG n?,使n EGm n1)(??,令???? 1n nGG ,则G 为?G 型集,EG?且? 2,1, 1)()(?????nn EGmEGm n 故0)(??EGm 。证毕。 4、设, n A B R ?, A B ?可测,且?? m A B ? ???,若??* * m A B m A m B ? ??,则, A B 皆可测。证明:先证 A 可测:存在?G 型集BG?使得Bm mG *?。令AGBAQ????。 GGBABA?????]) [( .?? mG mQ mG GBAmBAm???????]) [( 。因为* ( ) , ( ) m A B mG m B m A B ? ????????,Am mG -BmAm mG - B) (A ***?????m mQ ,即 Am mQ *?,又AQ?, 所以Am mQ *?, 所以Am mQ *?.* A (A B) m m ? ????,)( *??QAm QQAA???)( , 因为 Q 可测, A Q ?可测,所以 A 可测。同理可证 B 可测。证毕。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。鲁津定理:设( ) f x 是E 上 . 有限的可测函数, 则对任意 0??, 存在闭子集 EF??,使( ) f x 在?F 上是连续函数,且( \ ) m E F ???. 逆定理:设( ) f x 是E 上的函数,对 0?? ?,总存在闭子集 EE??,使得( ) f x 在?E 上是连续函数,且( ) m E E ??? ?,则, ( ) f x 是E 上 . 有限的可测函数。证明:对任意 1n ,存在闭子集 EE n?,使( ) f x 在nE 上连续且 n EEm n1)(??,令????? 1 0n nEEE ,则对任意 n ,有?? 011 n n n mE m E E m E E n ??? ?? ????? ?? ??。令?? n ,得????????????? 0 01 000)()(.0 n nn nEEEEEEE mE 。对任意实数 a, ??