微分方程解法总结.docx

文档介绍：一阶或可降为一阶微分方程
微分方程类型 方程通式及解法
可分离式微分 g( y)dy f (x)dx
方程 解为 G( y) F ( x) C ，其中 G( y) g( y) dy ， F (x) f ( x) dx
一阶或可降为一阶微分方程
微分方程类型 方程通式及解法
可分离式微分 g( y)dy f (x)dx
方程 解为 G( y) F ( x) C ，其中 G( y) g( y) dy ， F (x) f ( x) dx
齐次方程
一阶线性微分
方程
伯努利方程
全微分方程

dy
f (x, y)
且
f ( x, y) 中 每
一
个 单 项 式 的 x, y
指数和相等（如
dx
x3
2x2 y 3xy2
4 y3 ）
令 u
y
dy
u
x dy 代入方程后再将 u 代回 y 求解
x
dx
dx
x
dy
P( x) y
Q( x)
dx
解为 y
Ce
P( x) dx
e
P ( x) dx
Q(x)e
P( x)dx
dx
dy
P( x)
Q( x) y n (n
0,1)
dx
令 z
y1
n
dz
(1
n) y n dy 则伯努利方程左右同乘(1
n) y n 后将 z 代入得到
dx
dx
dz
(1
n) P(x) z
(1
n)Q( x) 按一阶线性微分方程解法求得
z 后反代得 y
dx
P(x, y) dx
Q(x, y) dy
0且 P
Q
y
x
解为
x
( ,
)
dx
y
( ,
)
dy
C（可能解为隐函数） ，其中
( x0 , y0 )
为单连通域上适
P x
y
Q x
y
x0
y0
当点（一般取
x0
y0
0 ）
y (n) f ( x)
可降阶的高阶 直接对 y ( n) 反复积分直至求得 y
微分方程 y f ( x, y )
令 p y ，则有 p f (