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“平面图形的镶嵌”的组成方案的调查研究
我发现,用形状、大小完全相同的正三角形可以进行密铺。.因为三角形的内角和为180°,所以,用6个正三角形就可以组合起来镶嵌成一个图案.
从用三角形密铺的图案中,观察到:每个拼接点处有6个角,这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等),它们可以组成两个三角形的内角,它们的和为360°.
用同一种四边形也可以密铺,在用四边形密铺的图案中,°,所以它们的和为360°.
从拼接活动中,我知道了:要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面,需使得拼接点处的各角之和为360°.
通过探索活动,我得知:用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面,那么其他的多边形也能密铺。
如下图,正五边形的密铺.
正五边形的每个内角都是108°,,在每个拼接点处,三个内角之和为324°,小于360°,而四个内角之和都大于360°;:=120°,在每个拼接点处,恰好能容纳下3个内角,而且相互不重叠,没有空隙。.
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是:这种正多边形的一个内角的倍数是否是360,在正多边形里,正三角形的每个内角都是60°,正四边形的每个内角都是90°,正六边形的每个内角都是120°,这三种多边形的一个内角的倍数都是360°,而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°,所以说:在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺,,对于正n边形,它的每一个内角都为,在每个拼接点处,设可以将m个内角彼此无重叠、无缝隙地拼接在一起,由于这些角的和应为360°,因此有×m=360° 此式可化为:(m-2)(n-2)=4 m、:m-2,n-2都是4的因子. 所以,m、