文档介绍：.
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函数的根本性质
一、函数的单调性
函数的单调性函数的单调性反映了函数图三、函数的周期性
函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域的每一个值时，都有都成立，则就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，则、〔〕也是函数的周期。
2. 函数的周期性的主要结论：
结论1：如果〔〕，则是周期函数，其中一个周期
结论2：如果〔〕，则是周期函数，其中一个周期
结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，则是周期函数，其中一个周期
结论4：如果偶函数的图像关于直线〔〕对称，则是周期函数，其中一个周期
结论5：如果奇函数的图像关于直线〔〕对称，则是周期函数，其中一个周期
结论6：如果函数同时关于两点、〔〕成中心对称，则是周期函数，其中一个周期
结论7：如果奇函数关于点〔〕成中心对称，则是周期函数，其中一个周期
结论8：如果函数的图像关于点〔〕成中心对称，且关于直线〔〕成轴对称，则是周期函数，其中一个周期
结论9：如果或，则是周期函数，其中一个周期
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结论10：如果或，则是周期函数，其中一个周期
结论11：如果，则是周期函数，其中一个周期
例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+*)为偶函数，且f (5－*) = f (5+*),则f (*)一定是〔 〕 〔第十二届希望杯高二 第二试题〕
(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+*)为偶函数，∴f (10+*) = f (10－*).
∴f (*)有两条对称轴 * = 5与* =10 ，因此f (*)是以10为其一个周期的周期函数， ∴* =0即y轴也是f (*)的对称轴，因此f (*)还是一个偶函数。
应选(A)
:假设为奇函数，则方程=0假设有根一定为奇数个。
证:为奇函数-=
2=0 即=0是方程=0的根
假设是=0的根，即=0 由奇数定义得=0
也是方程的根
即方程的铲除=0外成对出现。
方程根为奇数个。
例2：设定义域为R的函数y = f (*)、y = g(*)都有反函数，并且f(*－1)和g-1(*－2)函数的图像关于直线y = *对称，假设g(5) = 1999，则f(4)=〔 〕。
1999； 〔B〕2000； 〔C〕2001； 〔D〕2002。
解：∵y = f(*－1)和y = g-1(*－2)函数的图像关于直线y = *对称，
∴y = g-1(*－2) 反函数是y = f(*－1)，而y = g-1(*－2)的反函数是:y = 2 + g(*),∴f(*－1) = 2 + g(*),∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选〔C〕
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(*)是定义在R上的偶函数，且f(1+*)= f(1－*),当－1≤*≤0时，
f(*) = －*，则f( ) = _________〔第八届希望杯高二 第一试题〕
解：∵f(*)是定义在R上的偶函数∴* = 0是y = f(*)对称轴；
又∵f(1+*)= f(1－*) ∴* = 1也是y = f(*) 对称轴。故y = f(*)是以2为周期的周期函数，∴f( ) = f(8+ ) = f( ) = f(－ ) =
例4. 设f(*)是定义在R上的奇函数，且f(*+2)= －f(*),当0≤*≤1时，
f(*) = *，则f( ) = 〔 〕
(A) (B)－(C) (D) －
解：∵y = f(*)是定义在R上的奇函数，∴点〔0，0〕是其对称中心；
又∵f(*+2 )= －f(*) = f(－*)，即f(1+ *) = f(1－*)，∴直线* = 1是y = f(*) 对称轴，故y = f(*)