文档介绍：实用标准文案
四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：
（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；
（2）圆内接
证法见上
方法 4
把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成
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实用标准文案
的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）
上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理，即 ABCD四个点，分别连接 AB和 CD, 它们（或它们的延长线）交点为 P，若 PA PB=PC PD，则 ABCD四点共圆。
证明：连接 AC,BD，∵ PA PB=PC PD
∴PA/PC=PD/PB
∵∠ APC=∠BPD
∴△ APC∽△ DPB
当 P 在 AB,CD上时，由相似得∠ A=∠D，且 A 和 D在 BC同侧。根据方法 2 可知 ABCD四点共圆。
当 P 在 AB,CD的延长线上时，由相似得∠ PAC=∠D，根据方法 3 可知 ABCD四点共圆。
方法 5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．即连
成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆．
方法 6
四边形 ABCD中，若有 AB CD+ADBC=AC BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则 ABCD四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形 ABCD，总有 AB CD+ADBC≥ AC BD,等号成立的条件是 ABCD四点共圆。
如图，在四边形内作△ APB∽△ DCB（只需要作∠ PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即可）
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由相似得∠ ABP=∠DBC，∠ BAP=∠ BDC
∴∠ ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD
即∠ ABD=∠PBC
又由相似得 AB:BD=PB:CB=AP:CD
∴AB CD=BDAP，△ ABD∽△ PBC
∴AD:BD=PC:BC，即 AD BC=BD PC
两个等式相加，得 AB CD+ADBC=BD (PA+PC)≥ BD AC,等号成立的充要条件
是 APC三点共线
而 APC共线意味着∠ BAP=∠BAC，而∠ BAP=∠BDC，∴∠ BAC=∠BDC
根据方法 2，ABCD四点共圆
方法 7
若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三