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四点共圆
假如同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为
“四点共圆”。四点共圆有三个性质:
1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;
2)圆内接四边形的对角互补;
3)圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质能够依据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
定理
判断定理
方法1:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这
底边的同侧,若能证明其顶角相等,进而即可必定这四点共圆。
(能够说成:若线段同侧二点到线段两头点连线夹角相等,那么这二点和线
段二端点四点共圆)
方法2:把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可必定这四点共圆。
(能够说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆)
托勒密定理
若ABCD四点共圆(ABCD按次序都在同一个圆上),那么ABDC+BCAD=ACBD。
黄忠明
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例题:证明关于随意正整数n都存在n个点使得全部点间两两距离为整数。
解答:概括法。我们用概括法证明一个更强的定理:关于随意n都存在n个
点使得全部点间两两距离为整数,且这n个点共圆,而且有两点是一条直径的两
端。n=1,n=2很轻松。当n=3时,一个边长为整数的勾股三角形即可:比方说
边长为3,4,5的三角形。我们发现这样的三个点共圆,边长最长的边是一条直
径。假定关于n大于等于3建立,我们来证明n+1。假定直径为r(整数)。找
一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相像的一个整数勾股三角形ABC
(边长a<b<c)。把本来的圆扩大到本来的c倍,并把一个边长为ra<rb<rc的
三角形放进去,使得rc边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上边对应了第n+1个点,记为P。于是依据Ptolomy定理,P和已存在的全部点的距离都是一
个有理数。(考虑P,这个点Q和直径两头的四个点,这四点共圆,于是PQ是
一个有理数由于Ptolomy定理里的其余数都是整数。)引入一个新的点P增添了
n个新的有理数距离,记这n个有理数的最大公分母为M。最后只要要把这个新
的图扩大到本来的M倍即可。概括法建立,故有这个命题。
反证法证明
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明以下
(其余画个证明图如后)
已知:四边形ABCD中,∠A+∠C=180°
求证:四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆)
证明:用反证法
过A,B,D作圆O,假定C不在圆O上,点C在圆外或圆内,
黄忠明
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若点C在圆外,设BC交圆O于C’,连结DC’,依据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°,
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾,故C不行能在圆外。近似地可证C不行能在圆内。
∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。
证明方法
方法1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,而后证另一点也在这个圆周上,若能证明这一点,即可必定这四点共圆.
方法2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同
侧,若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等),进而即可必定这四点共圆。
几何描绘:四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC,则ABCD四点共圆。
证明:过ABC作一个圆,显然D必定在圆上。若不在圆上,可设射线BD与
圆的交点为D',那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC,与外角定理矛盾。
方法3
把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可必定这四点共圆。
证法见上
方法4
把被证共圆的四点两两连成订交的两条线段,若能证明它们各自被交点分红
的两线段之积相等,即可必定这四点共圆(订交弦定理的逆定理);或把被证共
圆的四点两两连结并延伸订交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成
黄忠明
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的两线段之积等于自交点至另一线段两头点所成的两线段之积,即可必定这四点
也共圆.(割线定理的逆定理)
上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理,即ABCD四个点,分别连结AB和CD,
它们(或它们的延伸线)交点为P,若PAPB=PCPD,则ABCD四点共圆。
证明:连结AC,BD,∵PAPB=PCPD
∴PA/PC=PD/PB
∵∠APC=∠BPD
∴△APC∽△DPB
当P在AB,CD上时,由相像得∠A=∠D,且A和D在BC同侧。依据方法
2可
知ABCD四点共圆。
当P在AB,CD的延伸线上时,由相像得∠PAC=∠D,依据方法3可知ABCD四点共圆。
方法5证被证共圆的点到某必定点的距离都相等,
成的四边形三边中垂线有交点,可必定这四点共圆.
方法6
四边形ABCD中,如有ABCD+ADBC=ACBD,即两对边乘积之和等于对角线乘积,则ABCD四点共圆。该方法能够由托勒密定理逆定理获得。
托勒密定理逆定理:关于随意一个凸四边形ABCD,总有
ABCD+ADBC≥ACBD,等号建立的条件是ABCD四点共圆。
如图,在四边形内作△APB∽△DCB(只要要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即
可)
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黄忠明
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由相像得∠ABP=∠DBC,∠BAP=∠BDC
∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD
即∠ABD=∠PBC
又由相像得AB:BD=PB:CB=AP:CD
∴ABCD=BDAP,△ABD∽△PBC
∴AD:BD=PC:B,C即ADBC=BDPC
两个等式相加,得ABCD+ADBC=BD(PA+PC)≥BDAC,等号建立的充要条件
是APC三点共线
而APC共线意味着∠BAP=∠BAC,而∠BAP=∠BDC,∴∠BAC=∠BDC
依据方法2,ABCD四点共圆
方法7
若一点在一三角形三边上的射影共线,则该点在三角形外接圆上。
设有一△ABC,P是平面内与ABC不一样的点,过P作三边垂线,垂足分为别L,M,N,若L,M,N共线,则P在△ABC的外接圆上。
如图,PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC,且L,N,M在一条线上。
连结PB,PC,∵∠PLB+∠PNB=9°0+90°=180°
∴PLBN四点共圆
∴∠PLN=∠PBN,即∠PLM=∠PBA
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黄忠明
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