追击曲线问题.doc

文档介绍：追击曲线问题一敌舰在某海域内沿正北方向航行时, 我方战舰恰位于敌舰的正西方 1n mile ( 海里)处。我舰向敌舰发射制导鱼雷, 敌舰速度为 mile/min , 鱼雷的速度为敌舰速度的两倍。试问敌舰航行多远时将被击中? 一、微分方程模型建立和求解设敌舰的速度为常数 v 0, 曲线为 y=y(x) , 即在时刻 t, 鱼雷的位置在点 P(x, y)处, 这时敌舰的位置在点 Q(1, v 0 t) 处(如图 所示) 。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰,而鱼雷的运动的方向是沿曲线的切线方向,所以有 dx dyxytvx ytvdx dy)1(1 0 0??????或两边对 x 求导,得)1( 2 20dx dy dx ydxdx dy dx dtv????即() )1( 2 20dx ydxdx dtv??由已知鱼雷的速度为 2v 00 222)()(Vdt dy dt dx??因为0?dt dx ,所以 20)(12 1dx dy vdx dt??代入式( ) ,得线 y=y(x ) 满足的微分方程模型() 0 (0) y'0, y(0) 1x0,)1(2 )(1 22 2??????????????x dx dy dx yd 令dx dp ypy????, ' ,方程化为() 0)0( )1(2 1 2?????????P x pdx dp 分离变量,积分并代入初始条件计算得() )1 ln( 2 1)1 ln( 2xpp?????即2 12)1(1 ?????xpp 而2 12 2)1(1 11 ?????????xpp pp 上两式相减() 0)0( ])1()1 [(2 1 2 12 1????????????y xxpdx dy 直接积分并代入初始条件得() 3 2)1()1(3 1 2 13 2?????xxy 这就是鱼雷追击曲线的方程。因鱼雷击中敌舰时,它的横坐标 x =1 ,代入曲线方程得 3 2?y , 即敌舰行至 mile 3 2n 处时将被击中,这段航程所需要的时间为 。三、用 Mathematica 求解的计算过程为了利用 Mathematica 求解常微分方程功能求解方程式( ) ,输入命令 D solve[{y ″[x]= =Sqrt[1+y ′[x]^2]/(2*(1-x),y[0]= =0,y′[0]= =0), y[x],x} 得计算结果如下},1 ))1(3 1(3 2][ {{]1[xxIIxy Out??????????}} 1 ))1(3 1(3 2][{xXIIxy???????数学软件的局限性,上面用 M athematica 求解常微分方程初值时出现的两个问解,第一个是错误的,只有第二个解正确,它与用解析解求出的答案式( )一致,即 x xy?????1)3 11(3 2 为了绘出解曲线图形并计算微分方程解在自变量 x=1 时的函数值,输入下面命令 y[x]:=2/3-(1+(x-1)/3)*Sqrt[1-x] Polt[y[x],{x,0,1}] Y[1] 得计算结果如下(包括如图 所示图形) Out[3]=-Graphics- Out[4]=2/3 0.