《线性代数期末复习》吕 代数ch4习题课新.ppt

文档介绍：第四章****题课
一 齐次线性方程组
二 非齐次线性方程组
三 方程组的应用
一 齐次线性方程组
(2) Ax=0
2 解的判别:
(1) 齐次线性方程组一定有解,即零解;
(2) 齐次线性方程组有非零解
线性相关
0
a
a
a
a
a
5
4
3
2
1
=
+
+
+
+
解：
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
-
=
b
5
4
3
2
1
a
1
0
0
0
1
a
1
1
0
0
0
a
0
1
1
0
0
a
0
0
1
1
0
a
0
0
0
1
1
)
,
A
(
r
¾
¾
®
¾
å
=
+
4
1
i
i
5
r
r
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
å
=
5
1
i
i
4
3
2
1
a
0
0
0
0
0
a
1
1
0
0
0
a
0
1
1
0
0
a
0
0
1
1
0
a
0
0
0
1
1
原方程组有解的充要条件是：
即
0
a
a
a
a
a
5
4
3
2
1
=
+
+
+
+
)
A
(
R
)
,
A
(
R
=
b
r
5 求通解
(2) 对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简矩阵；
(3)由行最简矩阵写出同解方程组；
(4)求出同解方程组的通解（求同解方程组的特解与对应的齐 次方程组的基础解系），从而得出原方程组的通解。
(1) 对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观
察R(A)= R(B) ，
？
若R(A)≠R(B)，则方程组无解，解题完毕；
若R(A)= R(B) ，转向2）步；
设η*是Ax=b的一个解, xc是Ax=0的通解,则
Ax=b的通解x可表成:
4 解的结构
(2) ：
(1) 抽象方程组利用解的结构求解.
当
，方程组有唯一解。
解 由于系数矩阵是方阵,
当a=0时
所以,R(A)=2,R(B)=3,方程组无解.
当a=2时
所以,R(A)=R(B)=2<3,方程组有无穷多解.
例 已知1， 2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，1， 2是其对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1, k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必为( ).
b
因为R(A)=3, 所以Ax=0的基础解系含(4 －3)个解向量.
所以只需求出Ax=0的一个非零解即可.
例 设A是4阶方阵, 且R(A)=3.
设 是Ax=b的三个解向量，且
求Ax=b的通解.
解
第一步: 求Ax=0的基础解系.
即为基础解系.
第二步: 求Ax=b的一个解.
由条件, 取η1 即可.
k为任意常数
由ba1a2a3a4知(1 1 1 1)T是方程Axb的一个解
例 设矩阵A(a1 a2 a3 a4) 其中a2 a3 a4线性无关 a12a2 a3
向量ba1a2a3a4 求方程组Axb的通解
因此(1 2 1 0)T是方程Ax0的基础解系
通解为: xk(1 2 1 0)T(1 1 1 1)T kR
由a2 a3 a4线性无关, a1可由a2和a3线性表示,
知R(A)3 故方程Axb所对应的齐次方程
Ax0的基础解系中含一个解向量
第二步: 求Ax=0的基础解系.
解： 第一步: 求Ax=b的一个解.
由a12a2 a3得a12a2a30 知(1 2 1 0)T是Ax0的一个解
解:(1) 为非齐次线性方程组 的解向量
Q
,
,
3
a
2
a
1
a
b
x
A
=
例 设A为4阶方阵，R(A)=3, 都是非齐次线性方程
组 的解向量，其中
(1) 求方程组 对应的齐