文档介绍：一齐次线性方程组
(2) Ax=0
2 解的判别:
(1) 齐次线性方程组一定有解,即零解;
(2) 齐次线性方程组有非零解
线性相关
(3) 齐次线性方程组只有零解
线性无关
1 三种形式:
1,2,…,n是A的列向量
例齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是( ).
(a)系数矩阵A的行向量组线性相关;
(b)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关;
(c)系数矩阵A中必有一个列向量是其余列向量的线性组合;
(d)系数矩阵A的任意一个列向量都是其余列向量的线性组合.
例齐次线性方程组A3×5 x=0一定有( )成立.
(a) 仅有唯一解; (b) 有无穷多个解; (c) 无解.
c
b
3 解的性质
也是解;
(1)若
是齐次线性方程组Ax=0的解,则
也是解.
(2)若
是齐次线性方程组Ax=0的解,则对
4 解的结构
是解空间N(A)的一组基,
即Ax=0的基础解系, 则方程组的通解x可表示为:
注: (1) 解空间的维数=基础解系所含向量的个数
= n-R(A)
(2) 基础解系不唯一,任意n-R(A)个线性无关的解都是基础解系.
例设
是Ax=0的基础解系, 则
也是基础解系.
证明: (1) 容易证明:
是解.
(2) 定义法证明线性无关.
(3) 含有三个向量.
证毕.
例设A是n阶方阵, |A|=0,A中有一个代数余子式Aij≠0,则Ax=0的基础解系所含向量的个数为______.
解: 因为|A|=0, R(A)<n.
又因为Aij≠0, R(A) ≥n-1.
所以, R(A)=n-1, 从而Ax=0的基础解系所含向量的个数为n- R(A)=1.
5 求通解
①对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵;
②由行最简矩阵写出对应的同解方程组;
③令同解方程组中的自由未知量(xr+1 , xr+2 , …, xn)T分别为(1,0, …,0)T,(0,1, …,0)T,(0,0, …,1)T,即得原方程组的基础解系: 1, 2, …,n-r,从而得出原方程组的通解:
k11+ k22+…+ kn-rn-r (k1, k2…, kn-r∈R)
(2) :
(1) 抽象方程组利用解的结构求解.
例设n阶方阵A的各行元素之和均为零, 且R(A)=n-1,则Ax=0的通解为______.
解: 因为R(A)=n-1, 基础解系所含向量的个数为1个, 所以只需找一个非零解即可.
由条件, A的各行元素之和均为零, 即
所以, (1,1,…,1)T是Ax=0的非零解, 即为基础解系. 通解为k (1,1,…,1)T, k为任意常数.
一个非零向量线性无关
例求通解
作业
例设齐次线性方程组
问a 为何值时,该方程组有非零解,并求其通解.
解:
(1) 当a=0时, R(A)=1. 同解方程组为: x1+x2+…+xn=0.
当a≠0时,
二非齐次线性方程组
2 解的性质
1 三种形式:
Ax=b
1,2,…,n是A的列向量
(2)若是齐次方程组Ax=0的解, 是非齐次方程组 Ax=b的解, 则仍是方程组Ax=b的解.
(1)若都是方程组Ax=b的解,则是方程组Ax=0
的解;