文档介绍：5·3 定积分的计算方法
案例研究
湖南对外经济贸易职业学院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
放射物的泄漏:环保局近日对一起放射性碘物质泄漏事件进行调查,检测结果显示,当事当日,大气中辐射水平是可接受的最大限度的四倍,于是环保局下令当地居民立即撤离这一地区. 已知碘物质放射源的辐射水平是按
的速度衰减的,其中R是t时刻的辐射水平(单位:mR/h),
是初始(t=0)时的辐射水平,t是时间(单位:h).
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(1)该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间?
(2),那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总量是多少?
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分析(1)设降低到辐射水平需要
小时,此时辐
射水平为
的四分之一. 于是,得
解得
(2),
所以在
,即
设泄露出去的放射物总量为W,则有
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石油总产量:经济学家研究一口新井的
原油生产速度时,建立了下列数学模型
求该油井开始3年内生产的石油
总量.
分析设开始3年内生产的石油总量为W,则有
上述两个案例中的定积分没有直接可用的公式,需
要通过换元积分法或分部积分法求解.
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抽象归纳
定积分的换元积分法
设函数
在
上连
续,令
且满足:
(1)
(2)
当
从
变化到
时,
单调地从 a变化到 b;
(3)
在
上连续,
则有定积分的换元公式
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证设
是
的一个原函数,则
根据复合函数的求导法则,有
因此,有
所以
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例1 计算
解令
则
且
当
时,
当
时,
于是
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例2 计算
解令
则
且当
时,
时,
于是
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