关于量纲分析法.ppt

文档介绍：关于量纲分析法量纲分析法是二十世纪初,一些物理学家提出的一种在物理领域建立数学模型的办法。所谓量纲分析法,即在经验和实验的基础上,利用物理量的量纲所提供的信息,根据量纲齐次原则来确定物理量之间的关系。量纲,即物理量的单位,如速度的量纲就是 m/s 一、量纲齐次原则物理量的量纲物理量的量纲长度 l 的量纲记 L =[l]质量 m的量纲记 M =[m]时间 t的量纲记 T =[t]动力学中基本量纲 L, M, T 速度 v 的量纲[v ]= LT -1导出量纲加速度 a的量纲[a ]= LT -2 力f的量纲[f ]= LMT -2国际单位制 SI制的基本量?长度 l米L ?质量 m公斤 M ?时间 t秒T ?电流强度 I安培 A ?温度?开尔文 K ?光强 J 堪德拉 cd ?物质的量摩尔 N 其他所有物理量的单位都由这 7个基本量复合得到。量纲齐次原则引力常数 k的量纲[k] =[f ][l] 2[m] -2=L 3M -1T -2 对无量纲量?,[?]=1(= L 0 M 0 T 0)量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系单摆运动示例假设: 1、不考虑空气阻力; 2、忽略地球自转对单摆运动的影响; 3、摆线是刚体,在摆动中无形变; 4、摆轴部分没有摩擦。在这样的假设条件下,与单摆运动有关的物理量分别有: t、m、l、g、?单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ?) = 0 给出。例:单摆运动求摆动周期 t的表达式 l mg m l mg l mg m )1( 321????glmt? 321][][][][ ???glmt?假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式? 1, ? 2, ? 3为待定系数, ?为无量纲量(1) 的量纲表达式 33212???????TLMT?????????2/1 2/1 0 3 2 1???g lt??g lt?2?对比??????????12 0 0 3 32 1????对比这里计算出的公式和实际公式参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。原理分析对 x,y,z 的两组测量值 x 1,y 1,z 1和x 2,y 2,z 2, p 1 = f ( x 1,y 1,z 1 ), p 2 = f ( x 2, y 2,z 2 ) 2 12 1p pp p???为什么假设这种形式? 321????glmt?设p = f( x,y,z ) ),,( ),,(),,( ),,( 222 111 222 111 cz by ax f cz by ax fzyxf zyxf? x,y,z 的量纲单位缩小 a,b,c 倍????zyxzyxf?),,(p = f( x,y,z )的形式为),,( ),,,( 22221111 cz by ax fp cz by ax fp???? 000201 001010100 4 3 2 1)( )()()(TMLTML TMLTMLTML y y y y??000 2 412 43TMLTML yyy yy???????????????201 001 010 100][ ][ ][ ][TMLg TMLl TMLm TMLt 单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 0),,,(?glmtf ??????????02 0 0 41 2 43yy y yy ???glt 12)/(glt?? T Tyyyy y)1,1,0,2( ),,,( 4321???基本解?? 4 321y yyyglmty 1~y 4 为待定常数, Δ为无量纲量 0)(??F 设f(q 1, q 2, ?, q m ) = 0 mjXq ni aij ij,,2,1,][ 1?????y s = ( y s1, y s2, …,y sm) T , s = 1,2, …, m-r F(? 1,? 2,…,? m-r ) = 0 与 f (q 1, q 2, ?, q m ) =0 等价, F未定 Pi定理(Buckingham) 是与量纲单位无关的物理定律, X 1,X 2, ?,X n是基本量纲, n?m, q 1, q 2, ?,q m的量纲可表为,}{ mn ijaA ??量纲矩阵记作 rA? rank 若即线性齐次方程组 0? Ay 有 m-r 个基本解,记作??? mj yjs sjq 1?为 m-r 个相互独立的无量纲量, 且则 Pi定理的意义 Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建模的方法和理论支持,即这个定理证明了: 量纲分析法是可行的,没有任何理论上的疑点。下面就利用 Pi定理中给出的步骤和方法来解决一个新的建模问题。