文档介绍：第一章§1 方程的导出。定解条件 (或弹簧) 受某种外界原因而产生纵向振动,以 u(x,t) 表示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移,假设振动过程发生的张力服从虎克定律,试证明),(txu 满足方程???????????????????????x uExt uxt ?其中?为杆的密度, E 为杨氏模量。证:在杆上任取一段,其中两端于静止时的坐标分别为 x 与?xx?。现在计算这段杆在时刻 t 的相对伸长。在时刻 t 这段杆两端的坐标分别为: ),( );,(txxuxxtxux??????其相对伸长等于),( )],([ )],([txxux xtxuxtxxuxx x??????????????令0??x ,取极限得在点 x 的相对伸长为 xu),(tx 。由虎克定律,张力),(txT 等于),()(),(txuxEtxT x?其中)(xE 是在点 x 的杨氏模量。设杆的横截面面积为),(xS 则作用在杆段),(xxx??两端的力分别为 xuxSxE)()( xuxxSxxEtx)()( );,(????).,(txx??于是得运动方程 ttuxxsx???)()(? x ESu tx?),( xxxxx ESu xx|)(|)(?????利用微分中值定理,消去 x?,再令 0??x 得 ttuxsx)()(?x??? x ESu () 若?)(xs 常量,则得 2 2)(t ux???=))((x uxEx????即得所证。 2 .在杆纵向振动时,假设(1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解: (1) 杆的两端被固定在 lxx??,0 ),(,0),0(??tlutu (2) 若lx?为自由端, 则杆在 lx?的张力 x uxEtlT???)(),( |lx?等于零,因此相应的边界条件为 x u??|lx?=0 同理,若 0?x 为自由端,则相应的边界条件为 x u??∣ 0 0??x (3) 若lx?端固定在弹性支承上,而弹性支承固定于某点,且该点离开原来位置的偏移由函数)(tv 给出,则在lx?端支承的伸长为)(),(tvtlu?。由虎克定律有 x uE??∣)](),([tvtluk lx????其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件)(ux u????∣)(tf lx??其中 E k??特别地,若支承固定于一定点上,则,0)(?tv 得边界条件)(ux u????∣0??lx 。同理,若 0?x 端固定在弹性支承上,则得边界条件 x uE??∣)](),0([ 0tvtuk x???即)(ux u????∣).( 0tf x?? 3. 试证: 圆锥形枢轴的纵振动方程为 2 222)1(])1 [(t uh xx uh xx E??????????其中h 为圆锥的高(如图 1) 证:如图,不妨设枢轴底面的半径为 1,则x 点处截面的半径 l 为:h xl??1 所以截面积 2)1()(h xxs???。利用第 1题,得])1([)1()( 22 22x uh xExt uh xx????????????若ExE?)( 为常量,则得 2 222)1(])1 [(t uh xx uh xx E????????