文档介绍：1第 节矩阵相似对角化 2主要内容一、矩阵相似的概念二、矩阵相似对角化三、小结 3 一. 相似矩阵的概念定义 1: 设都是阶矩阵,若存在可逆矩阵,使得, A B nP 1 P AP B ??则称矩阵是矩阵的相似矩阵, AB 对进行运算称为对进行相似变换, A 1 P AP -APAB 可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。 A B 或称矩阵与矩阵相似, 记作 A B 4 分析: , 则存在可逆矩阵,使 , 则与相似( 为正整数). AB mA mB BA~ PB AP P??1?????? 211 1B AP P AP PP AA P?????注: 1 .矩阵相似是一种等价关系(1)反身性: . A A (2)对称性:若则 A B . B A (3)传递性:若则, , A B B C . A C 5 定理 1:阶方阵相似,则有 n BA~?????? BrAr?1?? BA?2?? A3和的特征多项式相同,即 B BIAI?????从而和的特征值相同 A B?????? B trA tr?4 6 推论若阶方阵 A与对角阵 n???????????????? n???? 2 1.,,,, 21 个特征值的即是则相似 nA n???? 7 例1:设矩阵与相似, ?????????????????124 22 421xA?????????????4 5y yx,求解:利用??A得到方程 0843???yx, 再利用),()(?? trA ???yx8 二. 矩阵相似对角化 nA 对阶方阵,如果可以找到可逆矩阵,P 使得为对角阵,就称为把方阵对角化。 1 P AP ??? A 定义 2: 定理 2:阶矩阵可对角化(与对角阵相似) nA?有个线性无关的特征向量。 A n 9 证”“?.)( 21npppP??令??????????? n nnppppppA?????? 2 12121)()(则).( 2211nnppp?????,P 设存在可逆阵, 2 11????????????n AP P????使),()( 2121n n Ap Ap Ap pppA???又, iiip Ap ???).()( 221121nn nppp Ap Ap Ap???????., 的特征向量对应为的列向量且的特征值为故 ii iApPA??).,,2,1(ni??, 可逆由于 P 线性无关, 所以 nppp,,, 21?. 个线性无关的特征向量有即nA 10 ).,,2,1(niP AP iii????则, 令)( 21npppP??)( 21npppA AP ??则)( 2211nnppp?????, 个线性无关的特征向量有设矩阵 npppnA,,, 21?”“?, 21n???, , , 且对应的特征值分别为?)( 21n Ap Ap Ap ????????????? n nppp????? 2 121)(,??P , 即??P AP???? AP P 1. 与对角矩阵相似 A?