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2（高中竞赛讲座）数学方法选讲(2)
中学数学竞赛讲座2
2数学方法选讲〔2〕
四、从反面考虑
解数学题，须要正确的思路。对于许多数学问题，通常采纳正面求解的思路，即从条件启程，求得5 页共 17 页

〔1〕把8个物品分成2组，每组4个，比拟这2组的轻重；
〔2〕把以上2组中较重的4个再分成2组，即每组2个，再比拟它们的轻重；〔3〕把以上2组中较重的分成各1个，取出较重的1个。小平称了3次天平都没有平衡，最终便得到一个物品。
可是事实上得到的是这8个物品当中从重到轻排在第5的物品。问：小平找出的这个物品有多重？并求出其次轻的物品重多少克？

课后练分制〔即分数为0，1，2，?，15〕。全班总分为209分，且一样分数的学生不超过5人。试说明得分超过12分的学生至多有9人。

、二角纸币、五角纸币各1张，一元币4张，五元币2张，用这些纸币随意付款，一共可以付出多少种不同数额的款项？

〔不包括8和101〕，分母为3的全部最简分数的和。
，四边形ABCD的面积为3，E，F为边AB的三等分点，M，N是CD边上的三等分点。求四边形EFNM的面积。

，我们标出以这些点为端点的一切可能线段的中点。问：至少可以得到多少个互不重合的中点？

，而且这101个消息都不一样。为了使全部的人都知道一切消息，他们一共至少要打多少个电话？

，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是64，66，68，70。求这4个数。

，其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。问：这五个砝码的重量相等吗？为什么？

课后练习答案
，那么全班的总分至少有
5×〔12+13〕+5×〔0+1+2+3+4+5〕=210〔分〕，
大于条件209分，产生了冲突，故得分超过12分的学生至多有9人。。
解：从最低币值1角到最高币值14元8角，共148个不同的币值。再从中剔除那些不能由这些纸币构成的币值。
经计算，应当剔除的币值为〔i+〕元〔i=0，1，2，?，14〕及〔j+〕元〔j=1，2，3，?，13〕，一共29种币值。所以，一共可以付出148-29=119〔种〕不同的币值。。

=2×〔8+9+?+97〕+〔97-8+1〕=9540。。

解：先考虑ABCD是长方形的特别状况，明显此时EFNM的面积是1。下面就一般状况求解。

连结AC，AM，FM，CF，那么

。

解：为了使计算互不重复，我们取距离最远的两点A，B。先计算以A为左端点的全部线段，除B外有11016条，这些线段的中点有11016个，它们互不重合，且到点A的距离小于AB长度的一半。
同样，以B为右端点的全部线段，除A外有11016条，这些线段的中点有11016个，它们互不重合，且到点A的距离小于AB长度的一半。
这两类中点不会重合，加上AB的中点共有11016+11016+1=31013〔个〕，即互不重合的中点不少于31013个。
另一方面，当这11018个点中每两个相邻点的间隔都相等时，不重合的中点数恰为31013。这说明，互不重合的中点数至少为31013个。。
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