文档介绍：狄拉克符号前面曾经指出,一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基矢,即选定表象后,它可以用在这组基矢上的投影即矢量的分量表示,这就是波函数。与高等数学中表示一个矢量,可以不引入坐标系不用它的分量而直接用矢量表示相似,在量子力学中表示一个量子态也可以不用引进具体表象,不用波函数,直接用矢量的符号表示。而且, 还可以直接引进矢量运算,例如标量积等。这就是狄拉克符号。以符号表示一个态矢量,称为刃矢,或简称刃, 为表示某一个确定的刃矢,常将写在中即。由于量子力学中的波函数可以是复数,或者说,希尔伯特空间是复空间,因此相应的态矢量是个复矢量。故而除了刃矢( ) ket AA A 狄拉克符号外,还有它的共轭复式,记作,称为刁矢,或简称刁。表示一个确定刁矢的狄拉克符号是。如同一个复数的实部和虚部是两个独立的部分一样,刃矢和刁矢也是性质不同的相互独立的矢量。选定表象后,它们在不同表象中的相应分量互为共轭复数,例如选定表象, 在表象中的分量为,可将他们排列成一个列矩阵( ) braB BQ A Q 1 2 ( , , , , ) n a a a ? ? 12naaa ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??这就是波函数。在表象中的分量, 可将他们排成一个行矩阵。是的共轭矢量。 AQ 1 2 * * * ( , , , , ) n a a a ? ? A A 狄拉克符号现在讨论如何用狄拉克符号对表示态矢和算符,以及进行态矢量运算: ①标量积在同一表象中, 和相应的分量的乘积之和称为与的标量积,简称标积。记作 A B A B * n n n B A a b ??( ) ( ) 显然,标积满足: * B A A B ?( ) 若,则称态矢量和正交。归一条件为 0 B A ? AB1 A A ? 狄拉克符号若、为某一线性厄米算符对应于本征值和的本征态,将和分别记为和,则其正交归一条件为 A B B AF i ji j ij i j??( ) 若能谱为连续谱,比方坐标算符的本征矢的正交归一条件是( ) x x x x ?? ?? ?( ) ?x( ) 在动量算符的本征矢正交归一条件是?p ( ) p p p p ?? ?? ?( ) k k k ? ???代入( )式得: 狄拉克符号②完备系和态矢量的狄拉克符号表示( ) 由于厄米算符的本征函数组成完备系,因而表示这些本征函数的刃矢(或刁矢)也组成完备系,记作(或)。态矢量可用这套刃矢展开: Q { } k { } k ? kk a k ???( ) 展开系数为 ka k a k ??定义算符为 kP k P k k ?( ) 狄拉克符号它对任何矢量的运算,相当于把这个矢量投影到基矢上去,使它变成在基矢方向上的分量,即 k k k k P k k a k ? ?? ?( ) 称为投影算符。由( )式可以看出,由于任意, 有( ) ( ) kP ? 1 k k k ??这就是本征函数的完备性。如果在坐标表象下,上式可写为 1 dx x x ? ????如果在动量表象下,可写为 1 dp p p ??( ) 狄拉克符号如果在某一本征函数系既有分离谱又有连续谱,完备性为: 1 k k k dq q q ? ???( ) ( ) ( ) 在表象中,态和的标积可写成: Q?? k k k k k a k ? ?? ?? ? k k k k k b k ? ?? ?? ? = = * * * jk j j jk k jk jk k k k j j k k b j k k b a