文档介绍：协变（逆变）基底矢量导数
在曲线坐标系中，在位置矢量 x =xi ii 处的自然协变和逆变
基底矢量是 x 的矢量函数：
（-1）
当位置矢量 x 处的张量在曲线坐标系的自然基底上表示时
（如
。即需要确定：
协变（逆变）基底矢量导数
在曲线坐标系中，在位置矢量 x =xi ii 处的自然协变和逆变
基底矢量是 x 的矢量函数：
（-1）
当位置矢量 x 处的张量在曲线坐标系的自然基底上表示时
（如
。即需要确定：
），对张量的分析涉及到自然基底的导数
为书写简明，记：
（-2）
因为
是矢量，且
可以在协变基底上线性表示，因此
有：
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（-3）
式中
是矢量
或称为 rk 上的坐标）。同理，
在协变基矢量rk上的线性表示系数（
也可以在逆变基底上线性
表示为：
（-4）
定义：
（-5）
式中
称为第一类和第二类Christoffel符号。由Chris-
toffel符号，
矢量可表示为：
（-6）
两个基本关系：
1．
2．
（-7a）
（-7b）
证：
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1．∵
∴
2．∵
∴
证毕。
例9：
证明：
（-8）
证：
∵
∴
又 ∵
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∴
Christoffel符号基本性质：
1．
（-9）
2．
（-10）
3．
（-11）
证：
1．∵
∴
2．
同理有：
∴
∵
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∴
3．∵
∴
对一般曲线坐标系（-6）和（-8）式给出了协变基矢
量和逆变基矢量的曲线坐标偏导数 。当曲线坐标系是正交
曲线坐标系时。由于：
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因此有：
由（-10）式得：
（-12）
（-13）
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将
当i , j , k =1,2,3时的值用h1, h2, h3表示时有：
（-14）
（-15）
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（-15）
例10：
试求柱坐标：
（式中
）的
解：
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∵
由（-14）、（-15）式得，除
的偏导数为1外，其
余的偏导数均为零。
∴
由（-6）式：
得：
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例11：
试求球坐标：
（式中
）的
解：
∵
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由(-154)式得，除
偏导数分别为
外，其余的偏导数均为零。
∴
的其它取值。
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由（-6）式：
得：
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曲线坐标系张量场分析
。本节将
在曲线坐标中讨论张量场的绝对微分和绝对导数。
一、曲线坐标系中标量场梯度
设
是曲线坐标
的标量值函数。若记：
则
在
方向上增加
时，函数的增量为：
设l为曲线坐标系中一单位矢量。且：
∵
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∴
定义：
则：
∵
∴
（-1）
该式与 (-20) 比较可知 ，该式就是曲线坐标系中标量场
沿l方向的方向导数。与（-21）式对应的
（Hami-
lton）算符为：
（-2）
对任意
：
（-3）
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称为曲线坐标系函数 f 的梯度（或称绝对导数）。
（-4）
称为曲线坐标系函数 f 的绝对微分。
例12：
设{o; i1, i2, i3}是参考标准正交坐标系。
是曲
线坐标。r 是位置矢量。即 r = xi ii 。试求 dr = ？
解：
∵
∴
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例13：
证明：
式中
。
证：
∵
∴
(-2)式的
算符是一般曲线坐标系的算符。对正交曲线
坐标系，由(-14)式：
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将上述三个表达式代入（-2）式得正交曲线坐系单位长
度逆变基矢量表示的
算符为：
（-5a）
（-5b）
又由（-15）式：
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例14：
试证明：
1．柱坐标：
（-6）
2．球坐标：
（-7）
证：
1．由例10可知：
∴
2．由例11可知：
∴
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二、张量场的梯度和散度
设A(x)是 r 阶张量场。{o; i1, i2, i3}是参考标准正交坐标系，
{x; r1, r2, r3}和{x; r 1, r 2, r 3}是曲线坐标
的自然局部协变和逆变坐标系。则：
定义：
（-8）
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（-9）
（-1