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洛必达法则
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洛必达法那么 洛必达法那么(L'Hospital法那么)，是在必须条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 设
(1)当x→a时，函数f(x)及Rn(x)=f(x)-P(x),于是有
Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。依据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=〔Rn(x)-Rn(x.)〕/〔(x-x.)^(n+1)-0〕
=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),；接着运用柯西中值定理得〔Rn'(ξ1)-Rn'(x.)〕/〔(n+1)(ξ1-x.)^n-0〕
=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)；连续运用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说绽开函数时都是为了计算的须要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林绽开式 ：假设函数f(x)在开区间〔a，b〕有直到n+1阶的导数，那么当函数在此区间内时，可以绽开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。
证明：假如我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的详细表达式，就可以把泰勒公式改写为比拟简洁的形式即当x.=0时的特别形式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1)
由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。 麦克劳林展开式的应用 ： 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
解：依据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最终可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……〔这里就写成无穷级数的形式了。〕
类似地，可以绽开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林绽开式并舍弃余项： e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈。
3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx〔i为-1的开方，即一个虚数单位〕 证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林绽开式准确地说是麦克劳林级数证明的。过程详细不写了，就把思路讲一下：先绽开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法安排律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的绽开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有爱好的话可自行证明一下。
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