文档介绍：第八章第二节 1第二节数量积向量积混合积教学内容 1 两向量的数量积 2 两向量的向量积教学重点数量积向量积的性质与计算本节考研要求掌握向量的数量积,向量积与混合积的定义和性质的问题。第八章第二节 21M 一、两向量的数量积沿与力夹角为?的直线移动,??W 1. 定义设向量的夹角为?,称记作数量积(点积) . F 作用下, F 位移为 s ,则力 F所做的功为? cos sF ? 2M ba?? cos ba的与为ba ba, s 启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 第八章第二节 3?,0时当???a 上的投影为在ab ??记作故,0,时当同理???ba b ?jrPb 2. 性质为两个非零向量, 则有 b a ?jrP ? cos b??ba ba a ?jrP??ba??aa)1( 2aba,)2(0??baba ? ba0??ba则2 ??),(ba 0,0??ba 结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 第八章第二节 4 3. 运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数?? abba?????ba)(?)(ba??)(ba???)()(ba?????)(ba????)(ba????(3) 分配律?? cbcacba??????事实上, 当0?c 时, 显然成立;时当0?c c )(ba? bab c ?jrPa c ?jrP?? cba???? ba c??jrPc ? c?? ??jrPjrP?a c ?jrP?c b c ?jrP?c ca??cb??)(jrPba c??第八章第二节 5AB C ?a bc 例1 . 证明三角形余弦定理? cos 2 222ab bac???证:则? cos 2 222ab bac???如图. 设,aBC?,bAC?cBA?bac??? 2c )()(baba???aa??bb?? ba??2 2a? 2b?? cos bbaa???,, 第八章第二节 6 式: 推导数量积的坐标表达)(kajaia zyx?????)(kbjbib zyx??????),,(),,( zyxzyxbbbaaaba?????数量积的坐标表达式)()()()()()(kbiajbiaibia zxyxxx????????????)()()()()()(kbjajbjaibja zyyyxy????????????)()()()()()(kbkajbkaibka zzyzxz????????????.bababa zzyyxx???.bababa zzyyxx?????ba ??第八章第二节 7 又,| ||| cosba ba????????222222 cos zyxzyx zzyyxxbbbaaa bababa????????两向量夹角余弦的坐标表示式???ba ??0??? zzyyxxbababa? cos | |||baba ??????????? zzyyxxbabababa ??由第八章第二节 8 例 1 已知}4,1,1{??a ?,}2,2,1{??b ?,求(1)ba ???;(2)a ?与b ?的夹角; (3)a ?在b ?上的投影. 解ba ???)1(2)4()2(111????????.9?? 222222 cos )2( zyxzyx zzyyxxbbbaaa bababa????????,2 1??ajbba b???? Pr ||)3(??.3|| Pr?????b baaj b???????.4 3?第八章第二节 9)(? MB ,)(? MA ? BM 例 ,)2,1,2( ),1,2,2(,)1,1,1(BAM ? AMB . A 解:,1,10,1 ,01 则?? AMB cos ?1?0 0222 1?3 ??? AMB 求 MB MA ? MA MB 故第八章第二节 10 例2设A(- 1,2,3) 、B (1,1,1) 、C (0,0,5) ,证明: ? ABC 为直角三角形。证,2,1,2) (???? AB ?,2,2,1) (??? AC,4,1,1) (???? BC , 有0???? AC AB 为直角三角形。 ABC ??, 从而??? AC AB 证毕。