文档介绍：第 2 讲双曲线
1．双曲线的第一定义：当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|时，P 的
轨迹为_____；
当||PF1|－|PF2||＝2a>|F1F2|时，P 的轨迹不存在.
当||PF1|－|PF2||＝2a＝|第 2 讲双曲线
1．双曲线的第一定义：当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|时，P 的
轨迹为_____；
当||PF1|－|PF2||＝2a>|F1F2|时，P 的轨迹不存在.
当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，P 的轨迹为
____________________________．
2．双曲线的第二定义：平面内到定点 F 与定直线 l(定点 F
不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e(e>1)的点的轨迹为双曲线．
曲线
以 F1、F2 为端点的两条射线
－
＝1
B. －
＝1
－＝1 或－
A
方程(
)
C
A.
x2
16
y2
48
y2 x2
9 27
C.
x2
16
y2 y2
48 9
x2
27
＝1
D．以上都不对
C
A
C
考点 1
双曲线的定义
例 1：已知三点 P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)．
(1)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；
(2)设点 P、F1、F2 关于直线 y＝x 的对称点分别为 P′、F1′、
F2′，求以 F1′、F2′为焦点且过点 P′的双曲线的标准方程．
－＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则
【互动探究】
1．设双曲线
x2 y2
16 9
P 点到(－5,0)的距离是(
)
D
A．7
B．23 C．5 或 23
D．7 或 23
解析：容易知道(5,0)与(－5,0)是给出双曲线的焦点，P 是双
曲线上的点，直接从定义入手．设所求的距离为 d，则由双曲线
的定义可得：|d－15|＝2a＝8⇒d＝7 或 23.
考点 2
双曲线与椭圆的类比
例 2：通过类比，可以发现椭圆与双曲线在学****方法和知识
内容也有许多相同之处，请完成以下类比与证明：
【互动探究】
2．如图 12－2－1，已知点 A 为⊙O 内一定点，点 P 为⊙O
上一动点，线段 AP 的中垂线与直线 OP 相交于点 Q，则点 Q 的
轨迹是椭圆；
解：|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|为一定值，根据椭圆的
定义知点 Q 的轨迹是椭圆．
图 12－2－1
类比：已知点 A 为⊙O 外一定点，点 P 为⊙O 上一动点，
线段 AP 的中垂线与直线 OP 相交于点 Q，则点 Q 的轨迹是
______；
双曲线
图 12－2－2
解析：如图 12－2－2，|QA|－|QO|＝|QP|－|QO|＝|OP|为一
定值，根据双曲线的定义知点 Q 的轨迹是双曲线．
考点 3
求双曲线的渐近线
解析：选 D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考
察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线
方程，以及斜三角形的解法，属中档题．
D
【互动探究】
C
A．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0
B．3x±5y＝0
D．5x＋4y＝0
解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关
系，得出 a 与 b 之间的等量关系，可知答案选 C.
考点 4
双曲线的离心率
3
5
(1)方法一用余弦定理转化，方法二用定义
转化，方法三用焦半径转化；
(2)点 P 在变化过程中，
|PF1|
|PF2|
的范围变化值需探究；
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键．
纠错反思：中点弦问题的存在性，在椭圆内中点弦（过椭
圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点）一定
存在，但在双曲线中则不能确定，所以求得结果应该加以检验.
例 6：(2010 年四川)已知定点 A(－1,0)、F(2,0)，定直线 l：

的 2 倍．设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，
直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N.
(1)求 E 的方程；
(2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由.
1．