文档介绍：第 3 讲等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，_____________________等于同
一个常数 q(q≠0)，这个数列叫做等比数列，常数 q 称为等比数
列的_____．
每一项与它前一项的比
公第 3 讲等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，_____________________等于同
一个常数 q(q≠0)，这个数列叫做等比数列，常数 q 称为等比数
列的_____．
每一项与它前一项的比
公比
2．通项公式与前 n 项和公式
②当 q≠1 时，____________________
.
3．等比中项
如果 __________成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．
即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a、A、b 成等比数列⇒__________.
4．等比数列的判定方法
(1)定义法：______
(n∈N*，q≠0 是常数)⇔{an}是等比数列；
(2)中项法： ________________(n∈N*)且 _____⇔{an}是等比数列．
a、G、b
G2＝a·b
1．已知 a、b、c、d 成等比数列，且曲线 y＝x2－2x＋3 的
)
B
顶点是(b，c)，则 ad 等于(
A．3
C．1
B．2
D．－2
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项为 3，前 3 项
)
C
和为 21，则 a3＋a4＋a5＝(
A．33
C．84
B．72
D．189
考点 1
等比数列的基本运算
例 1：(2010 年北京)已知{an}为等差数列，且 a3＝－6，a6
＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足 b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的
前 n 项和公式．
【互动探究】
1．(1)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，a2＝3，a6＝243，
Sn＝364，则 n＝___；
(2)已知等比数列{an}中 a2＝1，则其前 3 项的和 S3 的取值范
围是(
)
D
A．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
考点 2
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
求等比数列前 n 项和
例 2：数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项 an；
(2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.
6
解题思路：分析数列通项形式特点，结合等比数列前 n 项
和公式的推导，采用错位相减法求和．
或 5
根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常
用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数
列求和从“通项”入手．
【互动探究】
C
A.
15
8
或 5
B.
31
16
C.
31
16
D.
15
8
考点 3
等比数列的性质
例 3：已知 Sn 为等比数列{an}前 n 项和，Sn＝54，S2n＝60，
则 S3n＝__________.
∴54(S3n－60)＝36⇒S3n＝
182
.
3
解题思路：结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求
解．
解析：∵{an}是等比数列，
∴Sn、S2n－Sn、S3n－S2n 为等比数列，
【互动探究】
3．(1)已知等比数列{an}中，an>0，(2a4＋a2＋a6)a4＝36，则
a3＋a5＝___；
(2)(2010 年辽宁)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 3S3
＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比 q＝(
)
B
A．3
B．4
C．5
D．6
错源：没有考虑等比数列公比 q＝1 的特殊情形
例 4：求和：a＋a2＋a3＋…＋an.
6
误解分析：忽略对 a 的取值讨论．
正解：当 a＝0 时，a＋a2＋a3＋…＋an＝0；
当 a＝1 时，a＋a2＋a3＋…＋an＝n；
当 a≠0，且 a≠1 时，a＋a2＋a3＋…＋an＝
1－an
.
1－a
纠错反思：对于等比数列前 n 项和的问题要注意：①公比 q
是否为 1，选择相应的公式．②用公式求和时，要注意项数．③
有关含字母的求和问题，需要注意公比 q 及首项 a1 分类讨论．
【互动探究】
例 5：(2010 年江西)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数
f(x)＝x(x－a1)(x